исследовать функцию и построить её график f(x) =3x2-x3 подробное решение
Давайте подробно исследуем функцию и построим её график:
\[ f(x) = 3x^2 - x^3 \]
Шаг 1. Общее описание функции
Это — многочлен третьей степени (кубический), который состоит из двух слагаемых: квадратичного \( 3x^2 \) и кубического \( -x^3 \).
Шаг 2. Найти область определения
Область определения — все действительные числа \(\mathbb{R}\), так как многочлены определены для любого \(x\).
Шаг 3. Анализ поведения функции при больших \(|x|\)
- при \(x \to +\infty\):
\(f(x) = 3x^2 - x^3 \sim -x^3 \to -\infty\) (ведущий член \(-x^3\)) - при \(x \to -\infty\):
\(f(x) = 3x^2 - x^3 \sim -x^3 \to +\infty\)
Это говорит о том, что график уходит вниз при \(x \to +\infty\) и вверх при \(x \to -\infty\).
Шаг 4. Найти критические точки (точки экстремума)
Для этого найдём первый производный \(f'(x)\) и приравняем к нулю:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - x^3) = 6x - 3x^2 = 3x(2 - x) \]
Приравниваем к нулю:
\[ 3x(2 - x) = 0 \implies x=0 \quad \text{или} \quad x=2 \]
Это — потенциальные точки экстремума.
Шаг 5. Определение типов экстремумов
Найдём вторую производную или сравним знаки первой производной.
Вторая производная:
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(6x - 3x^2) = 6 - 6x \]
- При \(x=0\):
\(f''(0) = 6 - 0 = 6 > 0\) — точка минимума. - При \(x=2\):
\(f''(2) = 6 - 12 = -6 < 0\) — точка максимума.
Шаг 6. Найти значения функции в критических точках
В \(x=0\):
\(f(0)=3\cdot 0^2 - 0^3=0\)В \(x=2\):
\(f(2)=3\cdot 2^2 - 2^3=3\cdot 4 - 8=12 - 8=4\)
Вывод:
- Точка минимума: \((0, 0)\)
- Точка максимума: \((2, 4)\)
Шаг 7. Найти точки пересечения с осями
- с осью \(Ox\): при \(f(x)=0\):
\[ 3x^2 - x^3=0 \implies x^2(3 - x)=0 \]
\[ x^2=0 \implies x=0 \] \[ 3 - x=0 \implies x=3 \]
Точки пересечения: \((0,0)\) и \((3,0)\)
- с осью \(Oy\): при \(x=0\), \(f(0)=0\)
Шаг 8. Определить монотонность
- от \(-\infty\) до \(0\):
\[ f'(x)=3x(2 - x) \]
Для \(x<0\):
\(x<0\), \(2 - x > 2\), который положителен,
значит \(f'(x)<0\), функция убывает.от \(0\) до \(2\):
\(\quad x>0\), \(2 - x>0\),
\(f'(x)>0\), функция возрастает.для \(x>2\):
\(\quad x>2\), \(2 - x<0\),
\(f'(x)<0\), функция убывает.
Шаг 9. Построение графика
Обратим внимание на ключевые точки:
- В точке \((0,0)\) — минимум,
- В точке \((2,4)\) — максимум,
- Пересечения с осью \(Ox\) в \((0,0)\) и \((3,0)\),
- Поведение при больших \(|x|\).
С учётом этого, график:
- Начинает с \(+\infty\) при \(x \to -\infty\),
- Убывает до точки \((0,0)\),
- В точке \((0,0)\) — минимум,
- Далее возрастает до точки \((2,4)\),
- После этого убывает, стремясь к \(-\infty\), когда \(x \to +\infty\), проходя через точку \((3, 0)\).
Итог:
Это — кубический график с одним минимумом и одним максимумом, пересекающий ось \(Ox\) в точках \((0,0)\) и \((3,0)\).
Если нужно, я могу помочь вам нарисовать его более подробно или дать уравнение для построения графика в графическом редакторе.
