Исследовать функцию и построить её график f(x) =3x2-x3 подробное решение

Давайте подробно исследуем функцию и построим её график: \[ f(x) = 3x^2 - x^3 \] **Шаг 1. Общее описание функции** Это — многочлен третьей степени (кубический), который состоит из двух слагаемых: квадратичного \( 3x^2 \) и кубического \( -x^3 \). --- **Шаг 2. Найти область определения** Область определения — все действительные числа \(\mathbb{R}\), так как многочлены определены для любого \(x\). --- **Шаг 3. Анализ поведения функции при больших \(|x|\)** - при \(x \to +\infty\): \(f(x) = 3x^2 - x^3 \sim -x^3 \to -\infty\) (ведущий член \(-x^3\)) - при \(x \to -\infty\): \(f(x) = 3x^2 - x^3 \sim -x^3 \to +\infty\) Это говорит о том, что график уходит вниз при \(x \to +\infty\) и вверх при \(x \to -\infty\). --- **Шаг 4. Найти критические точки (точки экстремума)** Для этого найдём первый производный \(f'(x)\) и приравняем к нулю: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - x^3) = 6x - 3x^2 = 3x(2 - x) \] Приравниваем к нулю: \[ 3x(2 - x) = 0 \implies x=0 \quad \text{или} \quad x=2 \] Это — потенциальные точки экстремума. --- **Шаг 5. Определение типов экстремумов** Найдём вторую производную или сравним знаки первой производной. Вторая производная: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(6x - 3x^2) = 6 - 6x \] - При \(x=0\): \(f''(0) = 6 - 0 = 6 > 0\) — точка минимума. - При \(x=2\): \(f''(2) = 6 - 12 = -6 < 0\) — точка максимума. --- **Шаг 6. Найти значения функции в критических точках** - В \(x=0\): \(f(0)=3\cdot 0^2 - 0^3=0\) - В \(x=2\): \(f(2)=3\cdot 2^2 - 2^3=3\cdot 4 - 8=12 - 8=4\) **Вывод:** - Точка минимума: \((0, 0)\) - Точка максимума: \((2, 4)\) --- **Шаг 7. Найти точки пересечения с осями** - с осью \(Ox\): при \(f(x)=0\): \[ 3x^2 - x^3=0 \implies x^2(3 - x)=0 \] \[ x^2=0 \implies x=0 \] \[ 3 - x=0 \implies x=3 \] Точки пересечения: \((0,0)\) и \((3,0)\) - с осью \(Oy\): при \(x=0\), \(f(0)=0\) --- **Шаг 8. Определить монотонность** - от \(-\infty\) до \(0\): \[ f'(x)=3x(2 - x) \] - Для \(x<0\): \(x<0\), \(2 - x > 2\), который положителен, значит \(f'(x)<0\), функция убывает. - от \(0\) до \(2\): \(\quad x>0\), \(2 - x>0\), \(f'(x)>0\), функция возрастает. - для \(x>2\): \(\quad x>2\), \(2 - x<0\), \(f'(x)<0\), функция убывает. --- **Шаг 9. Построение графика** Обратим внимание на ключевые точки: - В точке \((0,0)\) — минимум, - В точке \((2,4)\) — максимум, - Пересечения с осью \(Ox\) в \((0,0)\) и \((3,0)\), - Поведение при больших \(|x|\). С учётом этого, график: - Начинает с \(+\infty\) при \(x \to -\infty\), - Убывает до точки \((0,0)\), - В точке \((0,0)\) — минимум, - Далее возрастает до точки \((2,4)\), - После этого убывает, стремясь к \(-\infty\), когда \(x \to +\infty\), проходя через точку \((3, 0)\). --- **Итог:** Это — кубический график с одним минимумом и одним максимумом, пересекающий ось \(Ox\) в точках \((0,0)\) и \((3,0)\). Если нужно, я могу помочь вам нарисовать его более подробно или дать уравнение для построения графика в графическом редакторе.