даны векторы a(9;3) b(2;6). Найдите косинус угла между ними
Давайте решим задачу шаг за шагом и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Вектор a (9; 3)
- Вектор b (2; 6)
Задача: найти косинус угла между векторами a и b.
Шаг 1: понять, что такое косинус угла между двумя векторами
Косинус угла θ между векторами a и b можно найти по формуле:
\[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \times |\vec{b}|} \]
где:
- \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) — скалярное произведение векторов,
- \(|\vec{a}|\) — длина (модуль) вектора a,
- \(|\vec{b}|\) — длина вектора b.
Шаг 2: найти скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)
Для векторов в виде \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\):
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \times x_2 + y_1 \times y_2 \]
Подставляем значения:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 9 \times 2 + 3 \times 6 = 18 + 18 = 36 \]
Шаг 3: найти длины (модули) векторов
Длина вектора \(\vec{a}\):
\[ |\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = \sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3 \sqrt{10} \]
Длина вектора \(\vec{b}\):
\[ |\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \]
Шаг 4: подставить все в формулу
\[ \cos \theta = \frac{36}{(3 \sqrt{10}) \times (2 \sqrt{10})} \]
Посчитаем знаменатель:
\[ (3 \sqrt{10}) \times (2 \sqrt{10}) = 3 \times 2 \times (\sqrt{10} \times \sqrt{10}) = 6 \times 10 = 60 \]
Потому что \(\sqrt{10} \times \sqrt{10} = 10\).
Теперь вычислим косинус:
\[ \boxed{ \cos \theta = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0.6 } \]
Ответ:
Косинус угла между векторами a и b равен \(\boxed{0.6}\).
