2. К окружности с центром O проведена касательная AB (A — точка касания). Найдите радиус окружности, если OB = 10 см и ∠ABO = 30°.

Рассмотрим задачу. Дано: - Окружность с центром O - Точка касания A, откуда проведена касательная AB к окружности, при этом A — точка касания. - OB = 10 см - Угол ∠ABO = 30° Требуется найти радиус окружности, обозначим его как R = OA (так как R — радиус, он равен OA, потому что O — центр окружности). --- Шаг 1. Проясним структуру и свойства: - Касательная в точке A перпендикулярна радиусу OA: \[ OA \perp AB \] - Точка B находится вне окружности, и OB — расстояние от точки B до центра O. --- Шаг 2. Построение и обозначения: - Обозначим: \[ OA = R \quad (\text{радиус}) \\ OB = 10\,\text{см} \\ \angle ABO = 30^\circ \] - В треугольнике \( OAB \): - стороны: \( OA = R \), \( OB = 10 \) - угол при вершине B: \(\angle ABO = 30^\circ\) --- Шаг 3. Использование геометрических соотношений: Рассмотрим треугольник \( OAB \): - Угол \(\angle ABO = 30^\circ\) — это угол при вершине B, образованный линиями \( BA \) (касательная) и \( BO \). - В этом треугольнике есть известные стороны и угол, что позволяет применить закон синусов или косинусов. Однако лучше всего обратить внимание на свойства касательной и радиуса. Поскольку \( A \) — касательная к окружности, перпендикулярная радиусу \( OA \): \[ \angle OAB = 90^\circ \] (так как касательная в точке касания перпендикулярна радиусу). --- Шаг 4. Анализ треугольника \( OAB \): Итак, у нас есть: - \(\angle OAB = 90^\circ \) - \(\angle ABO = 30^\circ \) Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, то: \[ \angle OAO = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Можно найти стороны, например, применяя тригонометрию: В треугольнике \( OAB \): - \( OA = R \) - \( OB = 10 \) Рассмотрим отношение сторон по известному углу. Применим закон синусов: \[ \frac{OA}{\sin \angle ABO} = \frac{OB}{\sin \angle OAB} \] Подставим известные значения: \[ \frac{R}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{\sin 90^\circ} \] Знаем, что: \[ \sin 30^\circ = 0.5, \quad \sin 90^\circ = 1 \] Подставляем: \[ \frac{R}{0.5} = \frac{10}{1} \] Отсюда: \[ R = 0.5 \times 10 = 5\, \text{см} \] --- **Ответ:** радиус окружности равен **5 см**.