2. К окружности с центром O проведена касательная AB (A — точка касания). Найдите радиус окружности, если OB = 10 см и ∠ABO = 30°.

Рассмотрим задачу.

Дано:

• Окружность с центром O
• Точка касания A, откуда проведена касательная AB к окружности, при этом A — точка касания.
• OB = 10 см
• Угол ∠ABO = 30°

Требуется найти радиус окружности, обозначим его как R = OA (так как R — радиус, он равен OA, потому что O — центр окружности).

Шаг 1. Проясним структуру и свойства:

• Касательная в точке A перпендикулярна радиусу OA:
  \[ OA \perp AB \]
• Точка B находится вне окружности, и OB — расстояние от точки B до центра O.

Шаг 2. Построение и обозначения:

• Обозначим:
  \[ OA = R \quad (\text{радиус}) \\ OB = 10\,\text{см} \\ \angle ABO = 30^\circ \]

• В треугольнике \( OAB \):

  • стороны: \( OA = R \), \( OB = 10 \)
  • угол при вершине B: \(\angle ABO = 30^\circ\)

Шаг 3. Использование геометрических соотношений:

Рассмотрим треугольник \( OAB \):

• Угол \(\angle ABO = 30^\circ\) — это угол при вершине B, образованный линиями \( BA \) (касательная) и \( BO \).
• В этом треугольнике есть известные стороны и угол, что позволяет применить закон синусов или косинусов.

Однако лучше всего обратить внимание на свойства касательной и радиуса. Поскольку \( A \) — касательная к окружности, перпендикулярная радиусу \( OA \):

\[ \angle OAB = 90^\circ \]

(так как касательная в точке касания перпендикулярна радиусу).

Шаг 4. Анализ треугольника \( OAB \):

Итак, у нас есть:

• \(\angle OAB = 90^\circ \)
• \(\angle ABO = 30^\circ \)

Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, то:

\[ \angle OAO = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]

Можно найти стороны, например, применяя тригонометрию:

В треугольнике \( OAB \):

• \( OA = R \)
• \( OB = 10 \)

Рассмотрим отношение сторон по известному углу. Применим закон синусов:

\[ \frac{OA}{\sin \angle ABO} = \frac{OB}{\sin \angle OAB} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{R}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{\sin 90^\circ} \]

Знаем, что:

\[ \sin 30^\circ = 0.5, \quad \sin 90^\circ = 1 \]

Подставляем:

\[ \frac{R}{0.5} = \frac{10}{1} \]

Отсюда:

\[ R = 0.5 \times 10 = 5\, \text{см} \]

Ответ: радиус окружности равен 5 см.