2. К окружности с центром O проведена касательная AB (A — точка касания). Найдите радиус окружности, если OB = 10 см и ∠ABO = 30°.

Давайте подробно решим данную задачу и объясним каждый шаг. **Задача:** Дано: - Окружность с центром O. - Ее касательная к окружности — прямая AB, при этом A — точка касания. - Известно: OB = 10 см. - Угол ∠ABO = 30°. Требуется найти радиус окружности (обозначим его R). --- ### Шаг 1: Визуализация ситуации Нарисуем схему: - Центр окружности — точка O. - Радиус окружности — от O до точки касания A. - Точка касания — A. - Линия AB — касательная к окружности, при этом A — точка касания. - Точка B — некоторое внешнее точку, из которой взят отрезок OB. - Угол ∠ABO равен 30°. Важно: - Так как AB — касательная, то она касается окружности в точке A, и радиус OA проведен в точку A, он перпендикулярен касательной: \( OA \perp AB \). --- ### Шаг 2: Анализ известных данных Обозначим: - Радиус окружности — R. - Точка B — находится в окружности или снаружи? Согласно условию, OB = 10 см. Обозначим: - O — центр окружности. - A — точка касания касательной AB. - Т.к. AB — касательная, то угол \( \angle OAB \) равен 90°, потому что радиус перпендикулярен касательной в точке касания. ### Шаг 3: Используйте свойства и данные Поскольку: - \( OA \perp AB \), значит, угол \( \angle OAB = 90^\circ \). - В треугольнике OAB: - \( OA = R \) (радиус). - \( OB = 10 \) (по условию). - Угол \( \angle ABO = 30^\circ \) — при этом важен его расположение. Рассмотрим треугольник OAB. Обозначим угол \( \angle AOB \) — он связан с известными данными. --- ### Шаг 4: Связь углов и треугольник Посмотрим внимательнее: - В треугольнике OAB: - Язь радиус OA перпендикулярен касательной AB, значит, угол \( \angle OAB = 90^\circ \). - Знано \( \angle ABO = 30^\circ \). Это позволяет определить остальные углы треугольника. Общий сумма углов треугольника OAB равна 180°: \[ \angle OAB + \angle ABO + \angle AOB = 180^\circ \] Подставляя: \[ 90^\circ + 30^\circ + \angle AOB = 180^\circ \] \[ 120^\circ + \angle AOB = 180^\circ \] \[ \Rightarrow \angle AOB = 60^\circ \] --- ### Шаг 5: Расчёт радиуса R Теперь у нас есть угол \( \angle AOB = 60^\circ \), и стороны: - \( OB = 10 \) см (дано). - \( OA = R \) (радиус, который ищем). - \( AB \) — касательная, но она не задана, поэтому используем свойства треугольника. Из треугольника OAB, где: - \( \angle AOB = 60^\circ \); - \( OA = R \); - \( OB = 10 \). Используя закон косинусов или синусов, можем найти R. --- ### Шаг 6: Применение закона синусов В треугольнике OAB: Закон синусов: \[ \frac{AB}{\sin \angle AOB} = \frac{OB}{\sin \angle OAB} = \frac{OA}{\sin \angle ABO} \] Известно: - \( \angle AOB = 60^\circ \) - \( \angle OAB = 90^\circ \) - \( \angle ABO = 30^\circ \) Подставим: \[ \frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{OB}{\sin 90^\circ} = \frac{R}{\sin 30^\circ} \] Нам нужно найти R, поэтому возьмем последнюю часть: \[ \frac{R}{\sin 30^\circ} = \frac{OB}{\sin 90^\circ} \] Значения: - \( \sin 30^\circ = 0,5 \) - \( \sin 90^\circ = 1 \) Подставим: \[ \frac{R}{0,5} = \frac{10}{1} \Rightarrow R = 0,5 \times 10 = 5 \text{ см} \] --- ### **Ответ:** **Радиус окружности \( R = \boxed{5\, \text{см}} \).** --- Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!