2. К окружности с центром O проведена касательная AB (A — точка касания). Найдите радиус окружности, если OB = 10 см и ∠ABO = 30°.
Давайте подробно решим данную задачу и объясним каждый шаг.
Задача:
Дано:
- Окружность с центром O.
- Ее касательная к окружности — прямая AB, при этом A — точка касания.
- Известно: OB = 10 см.
- Угол ∠ABO = 30°.
Требуется найти радиус окружности (обозначим его R).
Шаг 1: Визуализация ситуации
Нарисуем схему:
- Центр окружности — точка O.
- Радиус окружности — от O до точки касания A.
- Точка касания — A.
- Линия AB — касательная к окружности, при этом A — точка касания.
- Точка B — некоторое внешнее точку, из которой взят отрезок OB.
- Угол ∠ABO равен 30°.
Важно:
- Так как AB — касательная, то она касается окружности в точке A, и радиус OA проведен в точку A, он перпендикулярен касательной: \( OA \perp AB \).
Шаг 2: Анализ известных данных
Обозначим:
- Радиус окружности — R.
- Точка B — находится в окружности или снаружи?
Согласно условию, OB = 10 см.
Обозначим:
- O — центр окружности.
- A — точка касания касательной AB.
- Т.к. AB — касательная, то угол \( \angle OAB \) равен 90°, потому что радиус перпендикулярен касательной в точке касания.
Шаг 3: Используйте свойства и данные
Поскольку:
- \( OA \perp AB \), значит, угол \( \angle OAB = 90^\circ \).
- В треугольнике OAB:
- \( OA = R \) (радиус).
- \( OB = 10 \) (по условию).
- Угол \( \angle ABO = 30^\circ \) — при этом важен его расположение.
Рассмотрим треугольник OAB.
Обозначим угол \( \angle AOB \) — он связан с известными данными.
Шаг 4: Связь углов и треугольник
Посмотрим внимательнее:
- В треугольнике OAB:
- Язь радиус OA перпендикулярен касательной AB, значит, угол \( \angle OAB = 90^\circ \).
- Знано \( \angle ABO = 30^\circ \).
Это позволяет определить остальные углы треугольника.
Общий сумма углов треугольника OAB равна 180°:
\[
\angle OAB + \angle ABO + \angle AOB = 180^\circ
\]
Подставляя:
\[
90^\circ + 30^\circ + \angle AOB = 180^\circ
\]
\[
120^\circ + \angle AOB = 180^\circ
\]
\[
\Rightarrow \angle AOB = 60^\circ
\]
Шаг 5: Расчёт радиуса R
Теперь у нас есть угол \( \angle AOB = 60^\circ \), и стороны:
- \( OB = 10 \) см (дано).
- \( OA = R \) (радиус, который ищем).
- \( AB \) — касательная, но она не задана, поэтому используем свойства треугольника.
Из треугольника OAB, где:
- \( \angle AOB = 60^\circ \);
- \( OA = R \);
- \( OB = 10 \).
Используя закон косинусов или синусов, можем найти R.
Шаг 6: Применение закона синусов
В треугольнике OAB:
Закон синусов:
\[
\frac{AB}{\sin \angle AOB} = \frac{OB}{\sin \angle OAB} = \frac{OA}{\sin \angle ABO}
\]
Известно:
- \( \angle AOB = 60^\circ \)
- \( \angle OAB = 90^\circ \)
- \( \angle ABO = 30^\circ \)
Подставим:
\[
\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{OB}{\sin 90^\circ} = \frac{R}{\sin 30^\circ}
\]
Нам нужно найти R, поэтому возьмем последнюю часть:
\[ \frac{R}{\sin 30^\circ} = \frac{OB}{\sin 90^\circ} \]
Значения:
- \( \sin 30^\circ = 0,5 \)
- \( \sin 90^\circ = 1 \)
Подставим:
\[
\frac{R}{0,5} = \frac{10}{1} \Rightarrow R = 0,5 \times 10 = 5 \text{ см}
\]
Ответ:
Радиус окружности \( R = \boxed{5\, \text{см}} \).
Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!
