Среднее значение радиуса Земли равно 6400 км, а ускорение свободного падения у земной поверхности 2,8 м/с2. Пользуясь только этими данными, вычислите первую космическую скорость…

Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждое действие.

Дано:

• Средний радиус Земли: \( R = 6400\,\text{км} \)
• Высота над поверхностью Земли: \( h = 3600\,\text{км} \)
• Ускорение свободного падения у поверхности: \( g = 2,8\,\text{м/с}^2 \)

Найти:

• Первая космическая скорость на высоте \( h \).

---

Шаг 1. Переведём все размеры в одни единицы измерения

Радиус Земли и высоту над поверхностью удобно выразить в метрах: \[ R = 6400\,\text{км} = 6400 \times 10^3\,\text{м} = 6{,}4 \times 10^6\,\text{м} \] \[ h = 3600\,\text{км} = 3600 \times 10^3\,\text{м} = 3{,}6 \times 10^6\,\text{м} \]

Общий радиус орбиты (от центра Земли) на высоте \(h\): \[ r = R + h = 6{,}4 \times 10^6 + 3{,}6 \times 10^6 = 10{,}0 \times 10^6\,\text{м} = 1 \times 10^7\,\text{м} \]

---

Шаг 2. Связь между силой тяжести и ускорением \(g\) у поверхности

Известно, что: \[ g = \frac{GM}{R^2} \] где \(G\) — гравитационная постоянная, \(M\) — масса Земли.

На высоте \(h\) гравитационное ускорение: \[ g_h = \frac{GM}{(R + h)^2} = \frac{GM}{r^2} \]

Поскольку \(GM = g R^2\), можно переписать: \[ g_h = g \left(\frac{R}{r}\right)^2 \]

Шаг 3. Найдём гравитационное ускорение на высоте \(h\):

\[ g_h = 2,8 \times \left(\frac{6,4 \times 10^6}{1 \times 10^7}\right)^2 \]

Посчитаем: \[ \frac{6,4 \times 10^6}{1 \times 10^7} = 0,64 \] \[ g_h = 2,8 \times (0,64)^2 = 2,8 \times 0,4096 \approx 1,1469\,\text{м/с}^2 \]

Итак, гравитационное ускорение на высоте 3600 км примерно равно 1,15 м/с².

---

Шаг 4. Формула первой космической скорости

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, необходимая для орбитального движения (круговой орбиты) в данной точке. Она задаётся формулой: \[ v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]

Мы знаем, что: \[ GM = g R^2 \]

Подставим: \[ v_1 = \sqrt{\frac{g R^2}{r}} \]

---

Шаг 5. Вычислим первую космическую скорость

Подставим числовые значения: \[ v_1 = \sqrt{\frac{2,8 \times (6,4 \times 10^6)^2}{1 \times 10^7}} \]

Посчитаем числитель: \[ (6,4 \times 10^6)^2 = (6,4)^2 \times (10^6)^2 = 40,96 \times 10^{12} \] Следовательно: \[ v_1 = \sqrt{\frac{2,8 \times 40,96 \times 10^{12}}{1 \times 10^7}} \]

Объединим числитель: \[ 2,8 \times 40,96 = 114,688 \] Теперь: \[ v_1 = \sqrt{\frac{114,688 \times 10^{12}}{10^7}} = \sqrt{114,688 \times 10^{5}} \]

Выразим внутри корня: \[ 114,688 \times 10^{5} = 1,14688 \times 10^{5+2} = 1,14688 \times 10^{7} \]

Поэтому: \[ v_1 = \sqrt{1,14688 \times 10^{7}} \]

Достанем корень из произведения: \[ v_1 = \sqrt{1,14688} \times \sqrt{10^{7}} \approx 1,071 \times 10^{3.5} \]

Поскольку: \[ \sqrt{10^{7}} = 10^{3.5} \approx 10^{3} \times 10^{0.5} \approx 1000 \times 3,16 \approx 3162 \]

Тогда: \[ v_1 \approx 1,071 \times 3162 \approx 3387\,\text{м/с} \]

---

Ответ:

Первая космическая скорость на высоте 3600 км над поверхностью Земли примерно равна:

\[ \boxed{ v_1 \approx 3400\,\text{м/с} } \]

Это значение показывает минимальную скорость, необходимую для выхода на круговую орбиту на данной высоте.

Если нужно что-то ещё — спрашивайте!