Давайте внимательно разберём это уравнение:
[
(x+3)^4 - 4(x+3)^2 + 3 = 0
]
Шаг 1: Введение новой переменной
Обозначим:
[
t = (x+3)^2
]
Тогда уравнение станет:
[
t^2 - 4t + 3 = 0
]
Это — выражение квадратичного уравнения по переменной ( t ).
Шаг 2: Решение квадратичного уравнения по ( t )
Запишем его полностью:
[
t^2 - 4t + 3 = 0
]
Используем формулу для решения квадратных уравнений — по дельта-методу или через формулу корней:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь:
( a=1 ),
( b=-4 ),
( c=3 ).
Вычислим дискриминант:
[
\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4
]
Корни:
[
t = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}
]
Получаем:
- При '+'
[
t = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3
]
- При '-'
[
t = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1
]
Шаг 3: Возврат к переменной ( x )
Теперь возвращаемся к исходной переменной:
[
t = (x+3)^2
]
Для каждого значения ( t ) решим уравнение ( (x+3)^2 = t ):
При ( t=3 ):
[
(x+3)^2=3
]
[
x+3 = \pm \sqrt{3}
]
[
x = -3 \pm \sqrt{3}
]
При ( t=1 ):
[
(x+3)^2=1
]
[
x+3 = \pm 1
]
[
x = -3 \pm 1
]
То есть:
[
x = -3 + 1 = -2
]
или
[
x = -3 - 1 = -4
]
Итог:
Ответы — все четыре корня:
[
\boxed{
x = -3 + \sqrt{3}, \quad x = -3 - \sqrt{3}, \quad x = -2, \quad x = -4
}
]
Это — полное решение уравнения.
