Решите уравнение (x+3)⁴-4(x+3)²+3=0
Давайте внимательно разберём это уравнение:
\[
(x+3)^4 - 4(x+3)^2 + 3 = 0
\]
Шаг 1: Введение новой переменной
Обозначим:
\[
t = (x+3)^2
\]
Тогда уравнение станет:
\[
t^2 - 4t + 3 = 0
\]
Это — выражение квадратичного уравнения по переменной \( t \).
Шаг 2: Решение квадратичного уравнения по \( t \)
Запишем его полностью:
\[
t^2 - 4t + 3 = 0
\]
Используем формулу для решения квадратных уравнений — по дельта-методу или через формулу корней:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь:
\( a=1 \),
\( b=-4 \),
\( c=3 \).
Вычислим дискриминант:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4
\]
Корни:
\[
t = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}
\]
Получаем:
- При '+'
\[ t = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] - При '-'
\[ t = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Шаг 3: Возврат к переменной \( x \)
Теперь возвращаемся к исходной переменной:
\[
t = (x+3)^2
\]
Для каждого значения \( t \) решим уравнение \( (x+3)^2 = t \):
При \( t=3 \):
\[ (x+3)^2=3 \]
\[ x+3 = \pm \sqrt{3} \]
\[ x = -3 \pm \sqrt{3} \]
При \( t=1 \):
\[ (x+3)^2=1 \]
\[ x+3 = \pm 1 \]
\[ x = -3 \pm 1 \]
То есть:
\[
x = -3 + 1 = -2
\]
или
\[
x = -3 - 1 = -4
\]
Итог:
Ответы — все четыре корня:
\[
\boxed{
x = -3 + \sqrt{3}, \quad x = -3 - \sqrt{3}, \quad x = -2, \quad x = -4
}
\]
Это — полное решение уравнения.
