2 часть 40. Понятие окружности, радиуса, диаметра, хорды. Свойство диаметра, проведенного через середину хорды.. 41. Свойства диаметра окружности. 42. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойство касательной к окружности. 43. свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки с доказательством. 44. Окружность, вписанная в угол. 45. Понятие вписанной и описанной окружности около треугольника. 46. Что является центрами вписанных и описанных окружностей около треугольника. Понятие серединного перпендикуляра, умение его строить. 47. Докажите, что центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. 48. Докажите, что для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Конечно! Вот подробные объяснения по каждой из тем, которые помогут подготовиться к экзамену: --- **40. Понятие окружности, радиуса, диаметра, хорды. Свойство диаметра, проведенного через середину хорды** - **Окружность** — геометрическая фигура, множество точек на плоскости, равноудаленных от фиксированной точки — центра окружности. - **Радиус** — расстояние от центра окружности до любой точки на ней. - **Диаметр** — хорда, проходящая через центр, делящая окружность на две равные части; длина диаметра — это самое большое possible расстояние в окружности. - **Хорда** — отрезок, соединяющий любые две точки на окружности. **Свойство диаметра, проведенного через середину хорды**: - Если диаметр проводит через середину хорды, то эта хорда перпендикулярна диаметру и делит его пополам. --- **41. Свойства диаметра окружности** - Диаметр является самой длинной хордой окружности. - Диаметр делит окружность на две равные дуги. - Любая хорда, перпендикулярная диаметру, проходит через центр окружности. - Если провести два перпендикуляра к хорде из центра, то они пересекаются в центре. --- **42. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойство касательной к окружности** - Прямая может быть: - **касательной** — касается окружности в одной точке, не пересекает её. - **секущей** — пересекает окружность в двух точках. - **наружной** — не пересекает и не касается окружность. - **Свойство касательной**: **Касательная к окружности в точке \( T \) перпендикулярна радиусу, проведенному в \( T \).** --- **43. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки с доказательством** - Из одной внешней точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к окружности, и равны будут длины от этой точки до точек касания. **Доказательство:** Пусть \( P \) — внешняя точка, а \( T_1 \) и \( T_2 \) — точки касания касательных к окружности \( \Gamma \). Тогда: - В треугольниках \( P T_1 O \) и \( P T_2 O \) (где \( O \) — центр окружности): - \( O T_1 = O T_2 \) (радиус). - Углы при \( T_1 \) и \( T_2 \) равны (углы между радиусом и касательной — перпендикуляр). - В результате, \( P T_1 = P T_2 \). --- **44. Окружность, вписанная в угол** - Вписанная окружность — касательная одновременно к двум сторонам угла внутри него. - Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис угла. --- **45. Понятие вписанной и описанной окружности около треугольника** - **Описание окружности** — окружность, проходящая через все три вершины треугольника; центр — **описанный центр**. - **Вписанная окружность** — касательная к всем сторонам треугольника внутри него; центр — **центр вписанной окружности**. --- **46. Центры вписанной и описанной окружностей около треугольника** - **Центр описанной окружности** — точка пересечения всеописанных биссектрис треугольника. - **Центр вписанной окружности** — точка пересечения биссектрис. **Серединный перпендикуляр** — перпендикуляр, проведённый к стороне треугольника через её середину; строится через середину стороны и является перпендикуляром. --- **47. Докажите, что центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы** **Доказательство**: Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом в \( C \). Гипотенуза — сторона \( AB \). - В прямоугольном треугольнике окружность, описанная вокруг него, имеет центр в середине гипотенузы (свойство прямоугольного треугольника). **Доказательство:** В прямоугольном треугольнике треугольник вписан в окружность так, что гипотенуза — диаметр окружности. Тогда центр окружности — середина гипотенузы, поскольку: \[ \text{Если гипотенуза } AB \text{ — диаметр, то } O = \text{середина } AB. \] --- **48. Докажите, что для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают** **Доказательство**: - В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают. - Центр вписанной окружности (инцентр) и центр описанной окружности (цирцентр) — это центр гомо-центрической фигуры, и оба совпадают в центре треугольника. **Итак:** \[ \boxed{ \text{Инцентр} = \text{Центр описанной окружности} \quad \text{в равностороннем треугольнике} } \] --- Если нужно, я могу подготовить более подробные схемы или дополнительные доказательства.