найдите наибольшее и наименьшее значения функции =x³+3x²+4 на отрезке [-3;3]
Давайте решим задачу поиска наибольшего и наименьшего значения функции \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 4\) на отрезке \([-3; 3]\).
Шаг 1: Найдём производную функции
Чтобы определить экстремумы функции, найдём её производную:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 + 4) = 3x^2 + 6x \]
Шаг 2: Решим уравнение \(f'(x) = 0\)
Найдём точки возможных экстремумов:
\[ 3x^2 + 6x = 0 \]
Вынесем общий множитель:
\[ 3x(x + 2) = 0 \]
Это равенство выполняется, когда:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2 \]
Шаг 3: Определим значения функции в критических точках и концах отрезка
Параметры для сравнения — это значения функции в найденных точках и на концах отрезка \([-3, 3]\):
- \(x = -3\)
- \(x = -2\)
- \(x = 0\)
- \(x = 3\)
Подставим эти значения в функцию:
- При \(x = -3\):
\[ f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 + 4 = -27 + 3 \times 9 + 4 = -27 + 27 + 4 = 4 \]
- При \(x = -2\):
\[ f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 4 = -8 + 3 \times 4 + 4 = -8 + 12 + 4 = 8 \]
- При \(x = 0\):
\[ f(0) = 0 + 0 + 4 = 4 \]
- При \(x = 3\):
\[ f(3) = 3^3 + 3 \times 3^2 + 4 = 27 + 3 \times 9 + 4 = 27 + 27 + 4 = 58 \]
Шаг 4: Итоги
- Наименьшее значение функции на отрезке — это минимальное из значений: \(4, 8, 4, 58\), то есть \(4\).
- Наибольшее значение функции — это максимум из этих значений: \(58\).
Ответ:
На отрезке \([-3; 3]\) самое меньшее значение функции — 4, а самое большое — 58.
