Давайте разберем задачу по частям и пошагово, чтобы найти скорость течения реки.
Дано:
- Скорость теплохода относительно воды (в неподвижной воде): ( V = 15 \text{ км/ч} )
- Время стоянки (остановки): ( t_{стойки} = 10 \text{ часов} )
- Общее время возвращения: ( T_{общ} = 40 \text{ часов} )
- Расстояние от Ростова (отправной точки) до пункта назначения: ( S = 200 \text{ км} )
Что нужно найти:
- Скорость течения реки: ( v )
1. Обозначения и переменные:
- ( V_{рек} = V + v ) — скорость теплохода по течению (в сторону назначения)
- ( V_{обратн} = V - v ) — скорость теплохода против течения (на обратном пути)
- ( t_{вперед} ) — время движения по реке к пункту назначения
- ( t_{обратн} ) — время возвращения назад
Общий путь: теплоход движется туда, останавливается, и возвращается обратно.
2. Расчет времени по пути только в пути (без стоянки)
Общий часовой промежуток:
[
T_{общ} = t_{вперед} + t_{стойки} + t_{обратн}
]
Известно:
[
T_{общ} = 40 \text{ часов}
]
[
t_{стойки} = 10 \text{ часов}
]
Следовательно, время на путь:
[
t_{вперед} + t_{обратн} = 40 - 10 = 30 \text{ часов}
]
3. Выражение для времени прохода
- Время движения к пункту назначения:
[
t_{вперед} = \frac{S}{V + v}
]
- Время возвращения обратно:
[
t_{обратн} = \frac{S}{V - v}
]
Общая сумма:
[
\frac{S}{V + v} + \frac{S}{V - v} = 30
]
Подставляем числовые значения ( V = 15 \text{ км/ч}, S= 200 \text{ км} ):
[
\frac{200}{15 + v} + \frac{200}{15 - v} = 30
]
4. Решение уравнения для ( v )
Объединим две дроби:
[
\frac{200(15 - v) + 200(15 + v)}{(15 + v)(15 - v)} = 30
]
Раскроем числитель:
[
200(15 - v) + 200(15 + v) = 200 \times 15 - 200 v + 200 \times 15 + 200 v = 2 \times 200 \times 15
]
Поскольку (-200 v + 200 v = 0), получаем:
[
2 \times 200 \times 15 = 2 \times 200 \times 15 = 6000
]
Теперь уравнение:
[
\frac{6000}{(15 + v)(15 - v)} = 30
]
Нижнее выражение — разность квадратов:
[
(15 + v)(15 - v) = 15^2 - v^2 = 225 - v^2
]
Следовательно:
[
\frac{6000}{225 - v^2} = 30
]
Перемножим обе части на знаменатель:
[
6000 = 30 \times (225 - v^2)
]
Раскроем скобки:
[
6000 = 30 \times 225 - 30 v^2
]
Вычислим:
[
30 \times 225 = 6750
]
Получаем:
[
6000 = 6750 - 30 v^2
]
Переносим все в левую сторону:
[
6000 - 6750 = -30 v^2
]
[
-750 = -30 v^2
]
Делим обе части на -30:
[
\frac{-750}{-30} = v^2
]
[
25 = v^2
]
Берем корень:
[
v = \pm 5
]
Поскольку скорость течения не может быть отрицательной (по модулю):
[
\boxed{
v = 5 \text{ км/ч}
}
]
Ответ: Скорость течения реки — 5 км/ч.
Если нужно дополнительно объяснить или уточнить решение — скажите!
