Реши
Давайте по порядку решим каждое неравенство, чтобы понять, при каких значениях переменной они выполняются.
1. \((2\sqrt{3} - 3)^{x^2 - x} > 1\)
Здесь важен знак основания \((2\sqrt{3} - 3)\):
- \(\sqrt{3} \approx 1.732\),
- \(2 \times 1.732 - 3 = 3.464 - 3 = 0.464\).
Поскольку \(0.464 > 0\) и меньше 1, то основание \(a = 2\sqrt{3} - 3\) — число в интервале \(0 < a < 1\).
Для неравенства \(a^{x^2 - x} > 1\):
- Если основание в интервале \(0 < a < 1\), то функция \(a^t\) убывает.
- Поэтому для \(a^{x^2 - x} > 1\), необходимо, чтобы показатель степени был меньше нуля: \(x^2 - x < 0\).
Решим \(x^2 - x < 0\):
- \(x(x - 1) < 0\),
- это неравенство верно, когда \(x \in (0, 1)\).
2. \(9 \sqrt{ } \leq 6 \cdot 9^x - 5 \cdot 3\sqrt{ } \cdot 3^x\)
На записях подразумеется:
\[ 9^{\frac{1}{2}} \leq 6 \cdot 9^x - 5 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^x \]
Итак:
- \(9^{\frac{1}{2}} = 3\).
- \(9^x = (3^2)^x = 3^{2x}\).
- \(3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\).
Подставим:
\[ 3 \leq 6 \cdot 3^{2x} - 5 \sqrt{3} \cdot 3^{x} \]
Обозначим \(t = 3^{x}\), тогда:
\[ 3 \leq 6t^{2} - 5 \sqrt{3} t \]
Рассмотрим квадратичное неравенство:
\[ 6 t^{2} - 5 \sqrt{3} t - 3 \geq 0 \]
Решим его:
- Коэффициенты: \(a=6\), \(b = -5 \sqrt{3}\), \(c = -3\).
Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4 a c = ( -5 \sqrt{3} )^2 - 4 \times 6 \times (-3) = 25 \times 3 + 72 = 75 + 72 = 147 \]
Корни:
\[ t = \frac{5 \sqrt{3} \pm \sqrt{147}}{2 \times 6} = \frac{5 \sqrt{3} \pm \sqrt{147}}{12} \]
- \(\sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = 7 \sqrt{3}\).
Тогда:
\[ t = \frac{5 \sqrt{3} \pm 7 \sqrt{3}}{12} \]
Два корня:
\(t_1 = \frac{(5 \sqrt{3} - 7 \sqrt{3})}{12} = \frac{-2 \sqrt{3}}{12} = - \frac{\sqrt{3}}{6}\) (отрицательное, а так как \(t = 3^x > 0\), то не учитываем).
\(t_2 = \frac{(5 \sqrt{3} + 7 \sqrt{3})}{12} = \frac{12 \sqrt{3}}{12} = \sqrt{3}\).
Так как парабола \(6 t^{2} - 5 \sqrt{3} t - 3\) "вытянут" вверх (коэффициент при \(t^2 > 0\)), то:
- Неравенство \(\geq 0\) выполняется при \(t \leq t_1\) или \(t \geq t_2\).
Но поскольку \(t_1 < 0\), а \(t = 3^x > 0\):
- \(t \geq \sqrt{3}\).
Следовательно, \(3^x \geq \sqrt{3} \Rightarrow 3^x \geq 3^{1/2}\), откуда:
\[ x \geq \frac{1}{2}. \]
3. \(\sqrt{5 - 4x} > 2^{x-1}\)
Рассмотрим:
- подкоренное выражение: \(5 - 4x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{5}{4}\),
- основание показательной функции: \(2^{x-1}\), оно всегда положительно.
Неравенство:
\[ \sqrt{5 - 4x} > 2^{x-1} \]
Возьмем обе части в квадрат:
\[ 5 - 4x > 2^{2(x-1)} \]
Обозначим правую сторону:
\[ 2^{2x - 2} = 2^{-2} \cdot 2^{2x} = \frac{1}{4} \cdot 4^x \]
Это равно:
\[ \frac{4^{x}}{4} \]
Если \(x\) — любое, то:
\[ 5 - 4x > \frac{4^x}{4} \]
Или:
\[ 20 - 16x > 4^{x} \]
Рассмотрим два варианта:
При \(x=0\), левая: \(20 - 0 = 20\), правая: \(4^0=1\), неравенство верно.
При \(x=1\), левая: \(20 - 16=4\), правая: \(4^1=4\), не строго больше, значит не подходит.
При \(x=0.5\):
\[ 20 - 16 \times 0.5 = 20 -8=12, \] \[ 4^{0.5} = 2, \] 12 > 2 — верно.
График функции \(20 - 16x\) — линейная убывающая, \(4^x\) — экспоненциальная растущая.
Найдем точку равенства:
\[ 20 -16x = 4^{x} \]
Это уравнение не решается алгебраическими методами, но по графику или методом проб и ошибок видно, что при \(x \approx 1\) или чуть меньше значение сходитс к равенству.
Обратившись к конкретным значениям, получим приблизительный интервал, где неравенство выполняется: примерно, при \(x \in (-\infty, 1)\).
Но поскольку подкоренное выражение требует \(x \leq \frac{5}{4} = 1.25\), то итог:
\[ x \in (-\infty, 1) \]
4. \(|x - 1|^{x^{2} + x - 2} > 1\)
Обратим внимание.
\(|x-1|\) — основание, оно неотрицательное; при \(x=1\), основание равно нулю.
Кейс 1: \(x \neq 1\), тогда \(|x-1| > 0\).
Рассмотрим:
\[ |x-1|^{x^2 + x -2} > 1 \]
Это неравенство возможно, если:
основание \(> 1\), тогда любой показатель дает результат \(\geq 1\) (Если показатель положителен, то \(\geq 1\), кроме нуля),
или если основание в интервале \(0 < |x-1| < 1\), тогда чтобы результат был > 1, нужно, чтобы показатель \(x^2 + x - 2\) был отрицательным (так как \(a^t > 1\) при \(a > 1\), или \(a \in (0, 1)\) — при \(t<0\)).
Рассмотрим \(x^2 + x - 2\):
Раскроем: \(x^2 + x - 2 = 0 \rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}\),
корни
