Реши

Давайте по порядку решим каждое неравенство, чтобы понять, при каких значениях переменной они выполняются. --- ### 1. \((2\sqrt{3} - 3)^{x^2 - x} > 1\) Здесь важен знак основания \((2\sqrt{3} - 3)\): - \(\sqrt{3} \approx 1.732\), - \(2 \times 1.732 - 3 = 3.464 - 3 = 0.464\). Поскольку \(0.464 > 0\) и меньше 1, то основание \(a = 2\sqrt{3} - 3\) — число в интервале \(0 < a < 1\). Для неравенства \(a^{x^2 - x} > 1\): - Если основание в интервале \(0 < a < 1\), то функция \(a^t\) убывает. - Поэтому для \(a^{x^2 - x} > 1\), необходимо, чтобы показатель степени был меньше нуля: \(x^2 - x < 0\). Решим \(x^2 - x < 0\): - \(x(x - 1) < 0\), - это неравенство верно, когда \(x \in (0, 1)\). --- ### 2. \(9 \sqrt{ } \leq 6 \cdot 9^x - 5 \cdot 3\sqrt{ } \cdot 3^x\) На записях подразумеется: \[ 9^{\frac{1}{2}} \leq 6 \cdot 9^x - 5 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^x \] Итак: - \(9^{\frac{1}{2}} = 3\). - \(9^x = (3^2)^x = 3^{2x}\). - \(3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\). Подставим: \[ 3 \leq 6 \cdot 3^{2x} - 5 \sqrt{3} \cdot 3^{x} \] Обозначим \(t = 3^{x}\), тогда: \[ 3 \leq 6t^{2} - 5 \sqrt{3} t \] Рассмотрим квадратичное неравенство: \[ 6 t^{2} - 5 \sqrt{3} t - 3 \geq 0 \] Решим его: - Коэффициенты: \(a=6\), \(b = -5 \sqrt{3}\), \(c = -3\). Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4 a c = ( -5 \sqrt{3} )^2 - 4 \times 6 \times (-3) = 25 \times 3 + 72 = 75 + 72 = 147 \] Корни: \[ t = \frac{5 \sqrt{3} \pm \sqrt{147}}{2 \times 6} = \frac{5 \sqrt{3} \pm \sqrt{147}}{12} \] - \(\sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = 7 \sqrt{3}\). Тогда: \[ t = \frac{5 \sqrt{3} \pm 7 \sqrt{3}}{12} \] Два корня: - \(t_1 = \frac{(5 \sqrt{3} - 7 \sqrt{3})}{12} = \frac{-2 \sqrt{3}}{12} = - \frac{\sqrt{3}}{6}\) (отрицательное, а так как \(t = 3^x > 0\), то не учитываем). - \(t_2 = \frac{(5 \sqrt{3} + 7 \sqrt{3})}{12} = \frac{12 \sqrt{3}}{12} = \sqrt{3}\). Так как парабола \(6 t^{2} - 5 \sqrt{3} t - 3\) "вытянут" вверх (коэффициент при \(t^2 > 0\)), то: - Неравенство \(\geq 0\) выполняется при \(t \leq t_1\) или \(t \geq t_2\). Но поскольку \(t_1 < 0\), а \(t = 3^x > 0\): - \(t \geq \sqrt{3}\). Следовательно, \(3^x \geq \sqrt{3} \Rightarrow 3^x \geq 3^{1/2}\), откуда: \[ x \geq \frac{1}{2}. \] --- ### 3. \(\sqrt{5 - 4x} > 2^{x-1}\) Рассмотрим: - подкоренное выражение: \(5 - 4x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{5}{4}\), - основание показательной функции: \(2^{x-1}\), оно всегда положительно. Неравенство: \[ \sqrt{5 - 4x} > 2^{x-1} \] Возьмем обе части в квадрат: \[ 5 - 4x > 2^{2(x-1)} \] Обозначим правую сторону: \[ 2^{2x - 2} = 2^{-2} \cdot 2^{2x} = \frac{1}{4} \cdot 4^x \] Это равно: \[ \frac{4^{x}}{4} \] Если \(x\) — любое, то: \[ 5 - 4x > \frac{4^x}{4} \] Или: \[ 20 - 16x > 4^{x} \] Рассмотрим два варианта: - При \(x=0\), левая: \(20 - 0 = 20\), правая: \(4^0=1\), неравенство верно. - При \(x=1\), левая: \(20 - 16=4\), правая: \(4^1=4\), не строго больше, значит не подходит. - При \(x=0.5\): \[ 20 - 16 \times 0.5 = 20 -8=12, \] \[ 4^{0.5} = 2, \] 12 > 2 — верно. График функции \(20 - 16x\) — линейная убывающая, \(4^x\) — экспоненциальная растущая. Найдем точку равенства: \[ 20 -16x = 4^{x} \] Это уравнение не решается алгебраическими методами, но по графику или методом проб и ошибок видно, что при \(x \approx 1\) или чуть меньше значение сходитс к равенству. Обратившись к конкретным значениям, получим приблизительный интервал, где неравенство выполняется: примерно, при \(x \in (-\infty, 1)\). Но поскольку подкоренное выражение требует \(x \leq \frac{5}{4} = 1.25\), то итог: \[ x \in (-\infty, 1) \] --- ### 4. \(|x - 1|^{x^{2} + x - 2} > 1\) Обратим внимание. - \(|x-1|\) — основание, оно неотрицательное; при \(x=1\), основание равно нулю. - Кейс 1: \(x \neq 1\), тогда \(|x-1| > 0\). Рассмотрим: \[ |x-1|^{x^2 + x -2} > 1 \] Это неравенство возможно, если: - основание \(> 1\), тогда любой показатель дает результат \(\geq 1\) (Если показатель положителен, то \(\geq 1\), кроме нуля), - или если основание в интервале \(0 < |x-1| < 1\), тогда чтобы результат был > 1, нужно, чтобы показатель \(x^2 + x - 2\) был отрицательным (так как \(a^t > 1\) при \(a > 1\), или \(a \in (0, 1)\) — при \(t<0\)). Рассмотрим \(x^2 + x - 2\): - Раскроем: \(x^2 + x - 2 = 0 \rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}\), - корни