Давайте разберем решение задачи по пунктам, подробно объясняя каждый шаг.
1. Построение прямой АВ и нахождение точек
Дано:
- Точка A(-3; 5)
- Точка B(4; -2)
Шаг 1. Находим уравнение прямой АВ.
- Вычисляем наклон прямой (k):
[
k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 5}{4 - (-3)} = \frac{-7}{7} = -1
]
- Находим уравнение прямой через точку A(-3; 5):
[
y - y_A = k (x - x_A)
]
[
y - 5 = -1 (x + 3) \implies y - 5 = -x - 3
]
[
y = -x + 2
]
Итак, уравнение прямой АВ:
[
\boxed{y = -x + 2}
]
2. Нахождение точек пересечения и построение
а) Координаты точки М — пересечение АВ с осью ОХ
- На оси ОХ (y=0), подставим y=0 в уравнение прямой:
[
0 = -x + 2 \implies x = 2
]
Точка М: (\boxed{(2, 0)})
б) Координаты точки К — пересечение АВ с отрезком СД
Точки C(-2;7) и D(-2;-4)
Вершина отрезка СД — это вертикальный отрезок, так как x=-2 для обеих точек, то есть он параллелен оси ОУ.
Проверим, пересекается ли отрезок ДС с прямой АВ:
Для этого найдем уравнение отрезка СД:
[
x = -2 \text{ (постоянно)}
]
- Подставим x=-2 в уравнение АВ:
[
y = -(-2) + 2 = 2 + 2 = 4
]
- Значит, точка пересечения — это точка на прямой, у которой x=-2, а y=4.
Проверяем, лежит ли эта точка внутри отрезка Д(х=-2; у=-4) и C(-2;7):
Точки D и C имеют одинаковое x=-2,
y-координаты: 7 и -4, а точка пересечения y=4:
- Точка (–2;4) лежит между –4 и 7, потому что -4 < 4 < 7.
Исходя из этого, точка К — это пересечение прямой АВ с отрезком СД.
Координаты точки К: (\boxed{(-2, 4)})
в) Координаты точки Е — пересечение АВ с осью ОУ
- На оси ОУ (x=0), подставим x=0 в уравнение прямой:
[
y = -0 + 2 = 2
]
Точка Е: (\boxed{(0, 2)})
3. Вопросы по расположению и измерению угла
а) Расположение отрезка СД относительно осей
Отрезок ДС имеет фиксную x=-2, он вертикальный.
Он параллелен оси ОУ, так как x=const, и не наклонен по отношению к оси ОХ.
По отношению к оси ОХ: он параллелен ей, потому что его сторона вертикальная.
По отношению к оси ОУ (она вертикальная): отрезок — тоже вертикальный, и он совпадает по x с осью ОУ, то есть он коллинеарен с осью ОУ.
б) Измерение угла СКЕ
Точки:
- C(-2;7)
- D(-2;-4) (используем для построения отрезка СД)
- K(-2,4) — точка пересечения АВ с СД
- E(0;2)
Необходимо найти угол (\angle)СКЕ, где:
- К — точка пересечения (наx=–2, y=4)
- С(-2,7)
- Е(0,2)
Отметим, что:
- Вектор (\vec{KC}): от K(-2,4) к C(-2,7):
[
\vec{KC} = (0, 3) \quad \text{(смещение по x=0, y=3)}
]
— потому что C по y у выше K.
- Вектор (\vec{KE}): от K(-2,4) к E(0,2):
[
\vec{KE} = (2, -2)
]
Теперь, чтобы найти угол между (\vec{KC}) и (\vec{KE}), используем формулу:
[
\cos \theta = \frac{\vec{KC} \cdot \vec{KE}}{|\vec{KC}| |\vec{KE}|}
]
где:
[
\vec{KC} \cdot \vec{KE} = (0)(2) + (3)(-2) = 0 - 6 = -6
]
Модули векторов:
[
|\vec{KC}| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3
]
[
|\vec{KE}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
]
Теперь:
[
\cos \theta = \frac{-6}{3 \times 2\sqrt{2}} = \frac{-6}{6\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
]
Следовательно:
[
\theta = \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ
]
Ответы:
М: (\boxed{(2, 0)})
К: (\boxed{(-2, 4)})
Е: (\boxed{(0, 2)})
Размер угла (\angle)СКЕ:
(\boxed{135^\circ})
Если нужно, могу подготовить более краткое решение или дополнить объяснения.
