^ int корень4 + lnx/x dx

Конечно! Давайте разберем интеграл:

\[ \int \left( \sqrt[4]{x} + \frac{\ln x}{x} \right) dx \]

Шаг 1: Распишем подынтегральное выражение

• \(\sqrt[4]{x} = x^{1/4}\)

• Вторая часть — \(\frac{\ln x}{x}\)

Значит, интеграл можно записать так:

\[ \int x^{1/4} dx + \int \frac{\ln x}{x} dx \]

Разделим задачу на два интеграла.

Шаг 2: Решаем первый интеграл

\[ \int x^{1/4} dx \]

Это степенной интеграл:

\[ \int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{при } n \neq -1 \]

Здесь \(n = 1/4\), тогда:

\[ \int x^{1/4} dx = \frac{x^{(1/4)+1}}{(1/4)+1} + C = \frac{x^{5/4}}{5/4} + C \]

Делим на дробь:

\[ = \frac{x^{5/4}}{1} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{5} x^{5/4} \]

Ответ для первого интеграла:

\[ \frac{4}{5} x^{5/4} \]

Шаг 3: Решаем второй интеграл

\[ \int \frac{\ln x}{x} dx \]

Это классический интеграл. Вспомним, что:

\[ \frac{d}{dx} (\ln^2 x) = \frac{2 \ln x}{x} \]

Следовательно:

\[ \int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2 \ln x}{x} dx = \frac{1}{2} \ln^2 x + C \]

Ответ для второго интеграла:

\[ \frac{1}{2} \ln^2 x \]

Шаг 4: Итоговое решение

Общий интеграл — сумма двух решений:

\[ \boxed{ \int \left( \sqrt[4]{x} + \frac{\ln x}{x} \right) dx = \frac{4}{5} x^{5/4} + \frac{1}{2} \ln^2 x + C } \]

где \(C\) — произвольная константа.

Если есть вопросы по каждому шагу или нужно более подробное объяснение, скажи!