^ int корень4 + lnx/x dx

Конечно! Давайте разберем интеграл: \[ \int \left( \sqrt[4]{x} + \frac{\ln x}{x} \right) dx \] **Шаг 1: Распишем подынтегральное выражение** - \(\sqrt[4]{x} = x^{1/4}\) - Вторая часть — \(\frac{\ln x}{x}\) Значит, интеграл можно записать так: \[ \int x^{1/4} dx + \int \frac{\ln x}{x} dx \] Разделим задачу на два интеграла. --- **Шаг 2: Решаем первый интеграл** \[ \int x^{1/4} dx \] Это степенной интеграл: \[ \int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{при } n \neq -1 \] Здесь \(n = 1/4\), тогда: \[ \int x^{1/4} dx = \frac{x^{(1/4)+1}}{(1/4)+1} + C = \frac{x^{5/4}}{5/4} + C \] Делим на дробь: \[ = \frac{x^{5/4}}{1} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{5} x^{5/4} \] **Ответ для первого интеграла:** \[ \frac{4}{5} x^{5/4} \] --- **Шаг 3: Решаем второй интеграл** \[ \int \frac{\ln x}{x} dx \] Это классический интеграл. Вспомним, что: \[ \frac{d}{dx} (\ln^2 x) = \frac{2 \ln x}{x} \] Следовательно: \[ \int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2 \ln x}{x} dx = \frac{1}{2} \ln^2 x + C \] **Ответ для второго интеграла:** \[ \frac{1}{2} \ln^2 x \] --- **Шаг 4: Итоговое решение** Общий интеграл — сумма двух решений: \[ \boxed{ \int \left( \sqrt[4]{x} + \frac{\ln x}{x} \right) dx = \frac{4}{5} x^{5/4} + \frac{1}{2} \ln^2 x + C } \] где \(C\) — произвольная константа. --- Если есть вопросы по каждому шагу или нужно более подробное объяснение, скажи!