устройство состоит из трех взаимно независимых деталей вероятность отказа каждой детали в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших деталей в одном…

Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.

Задача:
Устройство состоит из 3 взаимно независимых деталей. Вероятность отказа каждой детали в одном опыте равна 0,1. Нужно найти закон распределения числа отказавших деталей в одном опыте.

1. Обозначения и условия задачи:

• Количество деталей: \( n = 3 \)
• Вероятность отказа каждой детали: \( p = 0.1 \)
• Вероятность исправной детали: \( q = 1 - p = 0.9 \)

Детали взаимно независимы.

2. Что нужно найти:

Закон распределения числа отказавших деталей \( X \), где \( X \) — число отказавших деталей за один опыт.

То есть:
\[ P(X = k) \quad \text{для} \quad k=0,1,2,3 \]

3. Анализ по случаям:

• Если отказало 0 деталей:
  Все детали были исправны:
  \[ P(X=0) = P(\text{Все исправны}) = q^3 = (0.9)^3 \]

• Если отказало 1 деталь:
  Одна из трех деталей отказала, остальные исправны.
  Количество способов выбрать отказавшую деталь: 3.
  Вероятность для каждого варианта: \( p \times q^2 \).
  Итого:
  \[ P(X=1) = C_3^1 \times p \times q^2 = 3 \times 0.1 \times (0.9)^2 \]

• Если отказало 2 детали:
  Две детали отказали, одна исправна.
  Количество вариантов: \( C_3^2 = 3 \).
  Вероятность каждого варианта: \( p^2 \times q \).
  Итого:
  \[ P(X=2) = C_3^2 \times p^2 \times q = 3 \times (0.1)^2 \times 0.9 \]

• Если отказали все 3 детали:
  Все отказали:
  \[ P(X=3) = p^3 = (0.1)^3 \]

4. Итоговые формулы:

\[ \boxed{ \begin{aligned} P(X=0) &= (0.9)^3 \\ P(X=1) &= 3 \times 0.1 \times (0.9)^2 \\ P(X=2) &= 3 \times (0.1)^2 \times 0.9 \\ P(X=3) &= (0.1)^3 \\ \end{aligned} } \]

5. Вычисления численных значений:

\[ \begin{aligned} P(X=0) &= 0.9^3 = 0.729 \\ P(X=1) &= 3 \times 0.1 \times 0.9^2 = 3 \times 0.1 \times 0.81 = 3 \times 0.081 = 0.243 \\ P(X=2) &= 3 \times 0.01 \times 0.9 = 3 \times 0.009 = 0.027 \\ P(X=3) &= 0.001 \\ \end{aligned} \]

Проверка: сумма вероятностей должна равняться 1:
\[ 0.729 + 0.243 + 0.027 + 0.001 = 1.000 \]

Итог:

Закон распределения числа отказавших деталей:
\[ \boxed{ \begin{aligned} P(X=0) &= 0.729 \\ P(X=1) &= 0.243 \\ P(X=2) &= 0.027 \\ P(X=3) &= 0.001 \\ \end{aligned} } \]

Если нужно, я могу помочь с графиком или дальнейшим анализом.