Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.
Задача:
Устройство состоит из 3 взаимно независимых деталей. Вероятность отказа каждой детали в одном опыте равна 0,1. Нужно найти закон распределения числа отказавших деталей в одном опыте.
1. Обозначения и условия задачи:
- Количество деталей: ( n = 3 )
- Вероятность отказа каждой детали: ( p = 0.1 )
- Вероятность исправной детали: ( q = 1 - p = 0.9 )
Детали взаимно независимы.
2. Что нужно найти:
Закон распределения числа отказавших деталей ( X ), где ( X ) — число отказавших деталей за один опыт.
То есть:
[ P(X = k) \quad \text{для} \quad k=0,1,2,3 ]
3. Анализ по случаям:
Если отказало 0 деталей:
Все детали были исправны:
[ P(X=0) = P(\text{Все исправны}) = q^3 = (0.9)^3 ]
Если отказало 1 деталь:
Одна из трех деталей отказала, остальные исправны.
Количество способов выбрать отказавшую деталь: 3.
Вероятность для каждого варианта: ( p \times q^2 ).
Итого:
[ P(X=1) = C_3^1 \times p \times q^2 = 3 \times 0.1 \times (0.9)^2 ]
Если отказало 2 детали:
Две детали отказали, одна исправна.
Количество вариантов: ( C_3^2 = 3 ).
Вероятность каждого варианта: ( p^2 \times q ).
Итого:
[ P(X=2) = C_3^2 \times p^2 \times q = 3 \times (0.1)^2 \times 0.9 ]
Если отказали все 3 детали:
Все отказали:
[ P(X=3) = p^3 = (0.1)^3 ]
4. Итоговые формулы:
[
\boxed{
\begin{aligned}
P(X=0) &= (0.9)^3 \
P(X=1) &= 3 \times 0.1 \times (0.9)^2 \
P(X=2) &= 3 \times (0.1)^2 \times 0.9 \
P(X=3) &= (0.1)^3 \
\end{aligned}
}
]
5. Вычисления численных значений:
[
\begin{aligned}
P(X=0) &= 0.9^3 = 0.729 \
P(X=1) &= 3 \times 0.1 \times 0.9^2 = 3 \times 0.1 \times 0.81 = 3 \times 0.081 = 0.243 \
P(X=2) &= 3 \times 0.01 \times 0.9 = 3 \times 0.009 = 0.027 \
P(X=3) &= 0.001 \
\end{aligned}
]
Проверка: сумма вероятностей должна равняться 1:
[ 0.729 + 0.243 + 0.027 + 0.001 = 1.000 ]
Итог:
Закон распределения числа отказавших деталей:
[
\boxed{
\begin{aligned}
P(X=0) &= 0.729 \
P(X=1) &= 0.243 \
P(X=2) &= 0.027 \
P(X=3) &= 0.001 \
\end{aligned}
}
]
Если нужно, я могу помочь с графиком или дальнейшим анализом.
