1.Подбросили правильную шестигранную кость дважды. Определите вероятность следующих исходов:
а) общее кол-во, полученных в результате двух бросков, не превышает 7
б) результат умножения выпавших чисел равен шести
2.В наличии имеется 20 булочек:7 с повидлом, 8 с джемом, а остальные - со сгущёнкой. Случайным образом Ира берёт одну булочку. Какова вероятность того, что выбранная булочка:
а) будет с джемом или со сгущёнкой
б) не содержит начинки с джемом
3. В плавательном турнире участвуют атлеты из трёх городов:11 человек из Новосибирска, 8 из Самары и 6 из Перми. Очерёдность выступлений устанавливается жеребьёвкой. Вычислите вероятность того, что:
а) вторым выступит спортсмен из Новосибирска
б) предпоследним выступит участник из Самары?
Рассмотрим каждую задачу по порядку и подробно разберём решение.
---
### Задача 1
Подбросили правильную шестигранную кость дважды. Нужно найти вероятность следующих исходов:
#### а) Общее количество исходов, при которых сумма выпавших чисел не превышает 7
**Шаг 1:** Определим все возможные исходы.
- Каждое бросание — число от 1 до 6.
- Время второго броска — также 1 до 6.
- Общее число исходов равно \(6 \times 6 = 36\).
**Шаг 2:** Найдём все случаи, когда сумма чисел ≤ 7.
- Переберём возможные пары \((a, b)\), где \(a,b\) — выпавшие значения.
Итоговые пары и суммы:
| a\б | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|-------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| **1** | (1,1)=2 | (1,2)=3 | (1,3)=4 | (1,4)=5 | (1,5)=6 | (1,6)=7 |
| **2** | (2,1)=3 | (2,2)=4 | (2,3)=5 | (2,4)=6 | (2,5)=7 | (2,6)=8 |
| **3** | (3,1)=4 | (3,2)=5 | (3,3)=6 | (3,4)=7 | (3,5)=8 | (3,6)=9 |
| **4** | (4,1)=5 | (4,2)=6 | (4,3)=7 | (4,4)=8 | (4,5)=9 | (4,6)=10 |
| **5** | (5,1)=6 | (5,2)=7 | (5,3)=8 | (5,4)=9 | (5,5)=10 | (5,6)=11 |
| **6** | (6,1)=7 | (6,2)=8 | (6,3)=9 | (6,4)=10 | (6,5)=11 | (6,6)=12 |
**Шаг 3:** Посчитаем все пары с суммой ≤ 7.
Из таблицы:
- (1,1)=2
- (1,2)=3
- (2,1)=3
- (1,3)=4
- (2,2)=4
- (3,1)=4
- (1,4)=5
- (2,3)=5
- (3,2)=5
- (4,1)=5
- (1,5)=6
- (2,4)=6
- (3,3)=6
- (4,2)=6
- (5,1)=6
- (1,6)=7
- (2,5)=7
- (3,4)=7
- (4,3)=7
- (5,2)=7
- (6,1)=7
Всего **21** исход.
**Ответ для (а):**
\[ P(\text{сумма} \leq 7) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12} \]
---
#### б) Вероятность, что произведение выпавших чисел равно 6
**Шаг 1:** найдем все пары, где \(a \times b = 6\).
Факторы числа 6: 1, 2, 3, 6
- (1,6): \(1 \times 6=6\)
- (6,1): \(6 \times 1=6\)
- (2,3): \(2 \times 3=6\)
- (3,2): \(3 \times 2=6\)
**Шаг 2:** Всего таких исходов — 4.
**Ответ:**
\[ P(\text{произведение} = 6) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \]
---
### Задача 2
В наличии 20 булочек:
- с повидлом — 7
- с джемом — 8
- со сгущёнкой — оставшиеся, то есть \(20 - 7 - 8 = 5\)
Ира случайным образом берёт одну булочку.
#### а) Вероятность, что булочка с джемом или со сгущёнкой
**Шаг 1:** Общее число — 20.
**Шаг 2:** Число булочек с джемом — 8.
Число булочек со сгущёнкой — 5.
**Шаг 3:** По правилу суммы вероятностей:
\[
P(\text{джем или сгущёнка}) = \frac{8 + 5}{20} = \frac{13}{20}
\]
---
#### б) Вероятность, что булочка не содержит начинки с джемом
Это значит, что берём булочку с повидлом или со сгущёнкой:
\[
P(\text{не с джемом}) = \frac{7 + 5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}
\]
---
### Задача 3
У участия в турнире из 3 городов:
- Новосибирск: 11 человек
- Самара: 8 человек
- Пермь: 6 человек
Всего участников: \(11 + 8 + 6 = 25\).
Время выступления определяется жеребьёвкой — случайный порядок.
#### а) Вероятность, что вторым выступит спортсмен из Новосибирска
**Шаг 1:** Общее число порядков — 25! (все перестановки).
**Шаг 2:** Чтобы вычислить вероятность, что второй — спортсмен из Новосибирска:
- первыми выступает любой из оставшихся 24 участников;
- чтобы второй был из Новосибирска, нужно выбрать его из 11.
- остальные — любые из оставшихся участников без ограничений.
**Шаг 3:** Пределы задачи:
- число способов выбрать порядок, при котором второй — спортсмен из Новосибирска:
очередность: \(\; \text{любой из 25} \);
- выбираем конкретного из 11 — спортсмена из Новосибирска, который выступит вторым;
- все остальные места — любые из остальных участников.
**Шаг 4:** Размер подходящих перестановок:
- вероятность, что вторым — конкретный из 11 спортсменов:
\[
P = \frac{\text{число случаев, когда второй — из Новосибирска}}{\text{общие случаи}}
\]
Для этого:
- Перестановка с фиксированным вторым — это все перестановки, где второе место за конкретным спортсменом из 11.
Число таких перестановок:
- В первую позицию — любой из оставшихся 24 участников, исключая выбранного второго;
- В остальные — оставшиеся 23;
- Итого: \(24 \times 23!\)
Общее число перестановок всех участников — \(25!\).
**Ответ:**
\[
P = \frac{11 \times 24!}{25!} = \frac{11}{25}
\]
---
#### б) Вероятность, что предпоследним выступит участник из Самары
- Аналогично, выбираем, кто будет предпоследним:
Всего участников — 25.
- Количество участников из Самары — 8.
- Вероятность, что предпоследний — из Самары:
\[
P = \frac{\text{число способов, чтобы предпоследний был из Самары}}{\text{все возможные порядка}}
\]
- Выбираем конкретного из 8 для предпоследней позиции, остальные — любые участники.
- Число перестановок с фиксированным предпоследним —:
\[
24! \quad \text{(остальные 24 участника, за исключением выбранного)}
\]
- Общее число перестановок: \(25!\).
- Число случаев:
\[
8 \times 24!
\]
- Вероятность:
\[
P = \frac{8 \times 24!}{25!} = \frac{8}{25}
\]
---
### Итоговые ответы:
1. **Броски:**
- (а) \(\boxed{\frac{7}{12}}\)
- (б) \(\boxed{\frac{1}{9}}\)
2. **Булочки:**
- (а) \(\boxed{\frac{13}{20}}\)
- (б) \(\boxed{\frac{3}{5}}\)
3. **Турнир:**
- (а) \(\boxed{\frac{11}{25}}\)
- (б) \(\boxed{\frac{8}{25}}\)
Если нужны более подробные объяснения по какому-либо пункту — скажи!
