𝑥 + 𝑦 − 5| + 𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 9𝑦 2 = 0;
Давайте вместе решим уравнение:
\[ |x + y - 5| + x^2 - 6xy + 9y^2 = 0 \]
Шаг 1: Анализ уравнения
У нас есть абсолютное значение и квадратичные выражения. Важно учитывать две ситуации, поскольку модуль (абсолютное значение) может быть либо положительным, либо равен нулю.
Шаг 2: Рассмотрим случай 1: \( x + y - 5 = 0 \)
В этом случае \( |x + y - 5| = 0 \), и уравнение превращается в:
\[ 0 + x^2 - 6xy + 9y^2 = 0 \]
или
\[ x^2 - 6xy + 9y^2 = 0 \]
Это квадратичное выражение, которое можно попробовать упростить.
Шаг 3: Упростим выражение \( x^2 - 6xy + 9y^2 \)
Обратите внимание, что:
\[ x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2 \]
Так как:
\[ (x - 3y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 - 6xy + 9y^2 \]
Следовательно, уравнение внутри условий — это:
\[ (x - 3y)^2 = 0 \]
Что даёт:
\[ x - 3y = 0 \implies x = 3y \]
Но помним, что это условие выполнено при условии, что \( x + y - 5 = 0 \).
Шаг 4: Найдём совместное решение
Из системы:
- \( x + y = 5 \)
- \( x = 3y \)
подставим второе в первое:
\[ 3y + y = 5 \] \[ 4y = 5 \] \[ y = \frac{5}{4} \]
тогда
\[ x = 3 \times \frac{5}{4} = \frac{15}{4} \]
Таким образом, решение в первой ситуации:
\[ x = \frac{15}{4}, \quad y = \frac{5}{4} \]
Шаг 5: Рассмотрим случай 2: \( x + y - 5 \neq 0 \)
В этом случае уравнение имеет вид:
\[ |x + y - 5| + x^2 - 6xy + 9 y^2 = 0 \]
Поскольку \( |x + y - 5| \ge 0 \), и квадратные выражения \( x^2, y^2 \) также неотрицательны, то сумма равна нулю только при равенстве каждого слагаемого нулю (так как сумма неотрицательных чисел равна нулю, если и каждое из них равно нулю).
Значит,:
\[ |x + y - 5| = 0 \quad \Rightarrow \quad x + y - 5 = 0 \]
и
\[ x^2 - 6xy + 9 y^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 3 y)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 y \]
Но это — те же условия, что были и в первом случае. Следовательно, решений в этом случае больше нет.
Итоговое решение:
\[ \boxed{ x = \frac{15}{4}, \quad y = \frac{5}{4} } \]
Это единственное решение уравнения.
Если есть дополнительные вопросы или нужен разбор другого варианта, пишите!
