𝑥 + 𝑦 − 5| + 𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 9𝑦 2 = 0;

Давайте вместе решим уравнение: \[ |x + y - 5| + x^2 - 6xy + 9y^2 = 0 \] ### Шаг 1: Анализ уравнения У нас есть абсолютное значение и квадратичные выражения. Важно учитывать две ситуации, поскольку модуль (абсолютное значение) может быть либо положительным, либо равен нулю. ### Шаг 2: Рассмотрим случай 1: \( x + y - 5 = 0 \) В этом случае \( |x + y - 5| = 0 \), и уравнение превращается в: \[ 0 + x^2 - 6xy + 9y^2 = 0 \] или \[ x^2 - 6xy + 9y^2 = 0 \] Это квадратичное выражение, которое можно попробовать упростить. ### Шаг 3: Упростим выражение \( x^2 - 6xy + 9y^2 \) Обратите внимание, что: \[ x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2 \] Так как: \[ (x - 3y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 = x^2 - 6xy + 9y^2 \] Следовательно, уравнение внутри условий — это: \[ (x - 3y)^2 = 0 \] Что даёт: \[ x - 3y = 0 \implies x = 3y \] Но помним, что это условие выполнено при условии, что \( x + y - 5 = 0 \). ### Шаг 4: Найдём совместное решение Из системы: 1. \( x + y = 5 \) 2. \( x = 3y \) подставим второе в первое: \[ 3y + y = 5 \] \[ 4y = 5 \] \[ y = \frac{5}{4} \] тогда \[ x = 3 \times \frac{5}{4} = \frac{15}{4} \] **Таким образом, решение в первой ситуации:** \[ x = \frac{15}{4}, \quad y = \frac{5}{4} \] --- ### Шаг 5: Рассмотрим случай 2: \( x + y - 5 \neq 0 \) В этом случае уравнение имеет вид: \[ |x + y - 5| + x^2 - 6xy + 9 y^2 = 0 \] Поскольку \( |x + y - 5| \ge 0 \), и квадратные выражения \( x^2, y^2 \) также неотрицательны, то сумма равна нулю только при равенстве каждого слагаемого нулю (так как сумма неотрицательных чисел равна нулю, если и каждое из них равно нулю). Значит,: \[ |x + y - 5| = 0 \quad \Rightarrow \quad x + y - 5 = 0 \] и \[ x^2 - 6xy + 9 y^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 3 y)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 y \] Но это — те же условия, что были и в первом случае. Следовательно, решений в этом случае больше нет. ### Итоговое решение: \[ \boxed{ x = \frac{15}{4}, \quad y = \frac{5}{4} } \] Это единственное решение уравнения. --- Если есть дополнительные вопросы или нужен разбор другого варианта, пишите!