Монету бросают пять раз. Являются ли противоположными события А «решка выпала более двух раз» и В «орёл выпал более трёх раз»? Ответ объясните. 2. Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события M «на второй кости выпало больше двух очков» и N «сумма очков равна семи»? Ответ объясните. 3. На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта. Перенесите рисунок в тетрадь. а) Подпишите около рёбер недостающие вероятности. б) Найдите вероятность события . A 4. Нарисуйте таблицу элементарных событий при бросании двух игральных костей. Выделите в этой таблице цветными карандашами элементарные события, благоприятствующие событиям: А) на обеих костях выпало число очков меньшее, чем 3; Б) сумма очков на двух костях равна 7; В) произведение очков равно 12 5. Стрелок в тире делает выстрел по мишени. Если он попал в мишень, то больше он не стреляет, а если промахнулся, то делает ещё один выстрел. Постройте дерево этого случайного опыта. Отметьте на этом дереве «стрелок попал в мишень» и найдите его вероятность, если вероятность попадания при каждом выстреле равна: а) 0,4 б) 0,8

Конечно, я помогу вам разобраться с этими задачами по теории вероятностей и случайным процессам. Ниже представлены подробные решения и объяснения по каждому вопросу. --- ### 1. Являются ли противоположными события А «решка выпала более двух раз» и В «орёл выпал более трёх раз»? **Объяснение:** - В задаче есть 5 бросков монеты. - **Событие А:** «Решка выпала более двух раз» — то есть решка выпала 3, 4 или 5 раз. - **Событие В:** «Орел выпал более трёх раз» — то есть орёл выпал 4 или 5 раз. **Проверка противоположности:** Два события являются противоположными, если их совместное возникновение невозможно и если сумма вероятностей обеих равна 1. Рассмотрим возможные варианты исходов: - В рамках 5 бросков количество орлов и решек суммарно равно 5. - Тогда, если в бросках выпало более двух решек (А), то число орлов — 2 или меньше. - Если в бросках выпало более трёх орлов (В), то число решек — 2 или меньше. **Можно заметить:** Если **А** происходит (более двух решек), то число орлов менее 3, и наоборот. **Итог:** - Если А происходит, то В **не** происходит, и наоборот. - Но события не являются полными и взаимоисключающими, потому что возможен вариант, например, 2 решки и 3 орла — это оба события не происходят одновременно. **Ответ:** **Нет**, эти события не являются противоположными, потому что они не взаимоисключающие, они накладываются друг на друга — например, возможен случай, когда обе события **не** происходят. --- ### 2. Являются ли независимыми события M («на второй кости выпало больше двух очков») и N («сумма очков на двух костях равна семи»)? **Объяснение:** - **М:** На второй кости выпало 3, 4, 5 или 6 (больше двух очков). - **Н:** Сумма очков на двух костях равна 7. **Проверка независимости:** Два события M и N независимы, если \[ P(M \cap N) = P(M) \times P(N) \] Посчитаем вероятности: - Всего исходов при броске двух костей: 6×6 =36. - Вероятность события М: очки на второй кости — 3, 4, 5, 6. — для каждого значения есть 6 случаев: \[ P(M) = \frac{4 \times 6}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \] - Вероятность события N: сумма равна 7. — комбинации: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — всего 6. \[ P(N) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \] - Найдём \( P(M \cap N) \): — Нужно, чтобы сумма «7» и при этом на второй кости было больше двух. — рассмотрим комбинации суммы 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — в них только (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). — среди них, те где на второй кости больше двух: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1): все, кроме случаев, где второй — 1 или 2? — только случаи: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). В них: - (1,6): второй — 6 (>2) — подходит. - (2,5): второй — 5 (>2) — подходит. - (3,4): второй — 4 (>2) — подходит. - (4,3): второй — 3 (>2) — подходит. - (5,2): второй — 2 — не больше 2, не подходит. - (6,1): второй —1 — не больше 2, не подходит. Так что, \[ P(M \cap N) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \] **Сравнение:** \[ P(M) \times P(N) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \] **Вывод:** \[ P(M \cap N) = P(M) \times P(N) \] **Означает,** что события **М** и **N** **независимы**. --- ### 3. На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта. Поскольку рисунка здесь нет, я объясню общий подход к задаче: - При переносе дерева опыта в тетрадь нужно прорисовать ветви для каждого исхода. - Для каждого ребра — поставить вероятности, которые нужно найти или дано. - Обычно, в задачах по деревьям, вы записываете вероятности по ветвям, чтобы потом находить вероятности сложных событий. --- ### 4. Таблица элементарных событий при бросании двух костей Обозначим: - Координаты: (очков на первой косте, очков на второй косте) Таблица 6×6, элементы — все возможные исходы: | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |-------|---------|---------|---------|---------|---------|---------| | **1** | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) | | **2** | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) | | **3** | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) | | **4** | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) | | **5** | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) | | **6** | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) | Цветными карандашами выделите: - (А): оба броска < 3: это исходы, где оба числа — 1 или 2. — Все элементы, где оба числа — 1 или 2: (1,1), (1,2), (2,1), (2,2). - (Б): сумма = 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). - (В): произведение = 12: (2,6), (3,4), (4,3), (6,2). --- ### 5. Построение дерева для стрелка и нахождение вероятности попадания Дерево опыта для ситуации: - Первый уровень: стрелок делает первый выстрел: - Попал (вероятность p), тогда стрелок не стреляет дальше, это законченный сценарий. - Промахнул (вероятность 1–p), стреляет снова. - Вторая ветвь: при промахе — стреляет второй раз: - Попал (вероятность p) — эксперимент завершён. - Промах (вероятность 1–p) — эксперимент завершён снова. *Графическая схема:* ``` Начало ├── Попал (p) — завершено └── Промах (1–p) ├── Попал (p) — завершено └── Промах (1–p) — завершено ``` - Вероятность, что стрелок попадёт за два выстрела: \[ P(\text{попадание при первом или втором выстреле}) = 1 - P(промах оба раза) = 1 - (1-p)^2 \] - Варианты для p=0,4: \[ 1 - (1-0.4)^2 = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 \] - Для p=0,8: \[ 1 - (1-0.8)^2 = 1 - (0.2)^2 = 1 - 0.04 = 0.96 \] --- Если нужно более подробно или есть другие вопросы, скажите!