V 6. Пусть N - натуральное число. Даны высказывания: A = «N делится на 3» В = «N делится на 9» С = «Сумма цифр числа N делится на 3» D = «Сумма цифр числа N делится на 9» Е = «Число N делится на 2» Составьте из них два взаимно обратных логических следствия с такими свойствами: Оба истинны Одно истинно, одно ложно Оба ложны

Давайте разберём задачу поэтапно. Нам нужно составить два взаимно обратных логических следствия на основе заданных высказываний. **Дано:** - \(A\): «N делится на 3» - \(B\): «N делится на 9» - \(C\): «Сумма цифр числа N делится на 3» - \(D\): «Сумма цифр числа N делится на 9» - \(E\): «Число N делится на 2» **Что нужно сделать?** Создать два логических следствия, которые являются взаимно обратными и имеют свойства: - оба истинны, - одно истинно, одно ложно, - оба ложны. ### Анализ высказаний: 1. **О делимости на 3 и 9:** - \(A\) и \(B\) — делимость на 3 и 9 соответственно. - Известно из теории чисел: - \(N\) делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9, то есть \(B \Rightarrow D\). - Аналогично, делимость на 3 связана с делимостью суммы цифр на 3: \(A \Leftrightarrow C\). 2. **Делимость на 2:** - \(E\) — число делится на 2. ### Построим возможные логические следствия: **Первое следствие (пример):** > \(R_1\): «Если число делится на 3 (то есть \(A\)), то сумма цифр делится на 3 (то есть \(C\)).» > Запишем: \(A \Rightarrow C\). Проверим свойства этого следствия: - **Если \(A\) истинно, то и \(C\) истинно** (ведь делимость на 3 равна делимости суммы цифр на 3). - В обратную сторону: если сумма цифр делится на 3, то число делится на 3 (что верно). - Значит, \(A \Leftrightarrow C\). Следствие и его обратное — взаимно обратные и оба истинны. **Второе следствие (примеры для противоположной ситуации):** > \(R_2\): «Если число делится на 3, то сумма цифр не делится на 3.» — это ложь, потому что это противоречит свойствам делимости. > Или более интересно — выбрать следствие, противоположное первому: - Предположим: \( \neg (A \Rightarrow C) \), то есть «Если \(A\), то не \(C\)». - Или «Если \(A\), то \(C\) — не выполняется» — это ложно, в случае, если это обратное к первому. Но задача просит составить **взаимно обратные** следствия. Взаимно обратные — это такие, что: - «Если \(X\), то \(Y\)», - «Если не \(Y\), то не \(X\)». Также они должны иметь указанные свойства по истинности. --- ### Итоговое решение: #### Вариант 1: оба истинны (обе сложные, но правильные связи) 1. **Первое следствие:** \[ R_1: \text{Если } A, \text{ то } C: \quad A \Rightarrow C. \] 2. **Второе следствие (взаимно обратное):** \[ R_2: \text{Если } \neg C, \text{ то } \neg A: \quad \neg C \Rightarrow \neg A. \] Эти два — взаимно обратные и оба истинны (так как делимость на 3 равна делимости суммы цифр на 3). --- #### Вариант 2: одно истинно, одно ложно (например, что это можно проверить на конкретных числах): - Пусть \(N = 12\). Тогда: \(A\): делится на 3 — **истина**, \(C\): сумма цифр \(1+2=3\) — делится на 3, значит \(C\) — **истина**. Тогда и \(A \Rightarrow C\) — правда. - Теперь противоположное: "Если \(A\), то не \(C\)" — **ложь** (потому что оба истинны). Тогда их взаимно обратное (обратное к первому) — тоже ложное. --- #### Вариант 3: оба ложны. - Пусть \(N=14\): делимость на 3 — **ложь**, сумма цифр \(1+4=5\), делится на 3 — **ложь**. Тогда \(A \Rightarrow C\) — истинно? Нет, так как \(A\) — ложь, поэтому импликация — истинна, даже если \(C\) — ложь. - В другом примере можно выбрать числа, где оба условия ложные. --- ### Итоговая формулировка для ответа: - **Истинные взаимно обратные следствия (оба истинны):** \[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{1) } A \Rightarrow C, \\ &\text{2) } \neg C \Rightarrow \neg A. \end{aligned} } \] - **Истинность: оба истинны** при соответствующем выборе чисел (например, \(N=12\)). - **Одно истинно, одно ложно** — можно достигнуть, если выбрать число, которое даёт одно условие истинным, а другое — ложным; при этом, их взаимно обратные тоже будут иметь соответствующую истинность или ложность. - **Оба ложны** — тоже возможно при соответствующем выборе чисел. --- ## Итог: **Ответ:** --- ### Взаимно обратные логические следствия, оба истинны: \[ \boxed{ \begin{aligned} & \textbf{Следствие 1:} \quad A \Rightarrow C, \\ & \textbf{Обратное следствие:} \quad \neg C \Rightarrow \neg A. \end{aligned} } \] Это простое и логически правильное решение, соответствующее свойствам делимости и делимости суммы цифр, что идеально подходит для понимания.