Укажите верные равенства
Конечно! Давайте посмотрим на задачу и разберем, какие из данных интегралов являются правильными.
Нам нужно определить правильные равенства для интегралов:
- \(\int \cos x \, dx = - \sin x + C\)
- \(\int \sin x \, dx = - \cos x + C\)
- \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
- \(\int \sin x \, dx = \cos x + C\)
Рассмотрим каждое из них.
1. \(\int \cos x \, dx = - \sin x + C\)
Известно, что производная \(\sin x\) равна \(\cos x\). Значит, интеграл \(\cos x\) — это \(\sin x\), с учетом знака и константы интегрирования. Поэтому
\[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \]
Это неправильное равенство.
Но есть возможность, что его перепутали, потому что это классическая ошибка — путать знак. На самом деле:
\[ \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \]
следовательно,
\[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \]
2. \(\int \sin x \, dx = - \cos x + C\)
Значит, нужно проверить, является ли это правильным.
Производная \(- \cos x\):
\[ \frac{d}{dx} (- \cos x) = \sin x \]
Это совпадает, следовательно:
\[ \int \sin x \, dx = - \cos x + C \]
Это верное равенство.
3. \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
Этот вариант соответствует ранее нашему объяснению — это правильное равенство.
4. \(\int \sin x \, dx = \cos x + C\)
Это неверное, потому что:
\[ \frac{d}{dx} (\cos x) = - \sin x \]
поэтому
\[ \int \sin x \, dx = - \cos x + C \]
а не \(\cos x + C\).
Итоговые правильные равенства:
- \(\int \sin x \, dx = - \cos x + C\) — верно
- \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\) — верно
Ответ: правильные равенства — это первые две:
- \(\int \cos x \, dx = - \sin x + C\) — неправильно
- \(\int \sin x \, dx = - \cos x + C\) — правильно
- \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\) — правильно
- \(\int \sin x \, dx = \cos x + C\) — неправильно
В ответ можно выбрать:
- \(\int \sin x \, dx = - \cos x + C\)
- \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
или только те, что правильные, на ваше усмотрение.
Если нужно более четко выбрать только правильные, то они — это 2 и 3 варианты.
Если есть вопросы — обращайтесь!
