В правильной четырехугольной призме сторона основания 3 дм, а боковое ребро 2 дм. Найдите площадь полной поверхности и объем призмы. Nº 3. Основание пирамиды - прямоугольник со…

Давайте разберем каждую задачу по порядку, подробно объясняя решения.

---

Задача 1

В правильной четырехугольной призме сторона основания 3 дм, а боковое ребро 2 дм. Найдите площадь полной поверхности и объем призмы.

Шаг 1: Построение чертежа и понимание задачи

• Основание — квадрат со стороной 3 дм.
• Боковое ребро (высота призмы) — 2 дм.

Шаг 2: Нахождение объема
Объем призмы равен площади основания, умноженной на высоту:
\[ V = S_{осн} \times h \]

Площадь основания — площадь квадрата:
\[ S_{осн} = 3 \text{ дм} \times 3 \text{ дм} = 9 \text{ дм}^2 \]
Высота (боковое ребро) — 2 дм.

Объем:
\[ V = 9 \text{ дм}^2 \times 2 \text{ дм} = 18 \text{ дм}^3 \]

Шаг 3: Нахождение площади полной поверхности
Площадь боковых поверхностей (высоты) — четыре прямоугольника, у каждого сторона основания 3 дм, высота 2 дм:
\[ S_{боковых} = 4 \times (3 \text{ дм} \times 2 \text{ дм}) = 4 \times 6 = 24 \text{ дм}^2 \]

Площадь основания — 2 штуки (верхнее и нижнее):
\[ 2 \times 9 = 18 \text{ дм}^2 \]

Общая площадь полной поверхности:
\[ S_{полн} = S_{боковых} + 2 \times S_{осн} = 24 + 18 = 42 \text{ дм}^2 \]

---

Итог:

Объем = 18 дм³
Площадь полной поверхности = 42 дм²

---

Задача 2

Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 м и 8 м, все боковые ребра равны 9 м. Найдите объем пирамиды.

Шаг 1: Построение и понимание

• Основание — прямоугольник: 6 м и 8 м.
• Все боковые ребра равны 9 м, это означает, что пирамиду можно считать равнобочной (или правильной).

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды
Поскольку боковые ребра (равные 9 м) — падают от вершины к серединам сторон основания, и все боковые ребра равны, вершина находится на высоте, перпендикулярной плоскости основания.

Для вычислений нам нужно найти апофизу — высоту (расстояние от вершины до основания), а потом объем.

Рассмотрим прямоугольник основания и вершину пирамиды. Для упрощения возьмем центр основанияO (точка пересечения диагоналей) и точку вершины V.

Расстояние от вершины к центру основания:
Поскольку все боковые ребра равны 9 м, и вершина равноудалена от всех сторон, то можно найти высоту пирамиды по следующему:

Рассмотрим треугольник, образованный вершиной, центром основания и одним из углов основания.

Но проще — решение, обычно, для таких задач — представить, что пирамида — правильная (вершина и основание). Тогда, высота \( h \) связана с боковым ребром (необходима для полного решения), и она равна в данном случае.

Используем формулу объема:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h \]

Но для определения \( h \), нужно либо знать расстояние от вершины до центра основания.

Шаг 3: Вспомогательное решение
Если все боковые ребра равны 9 м, и основание прямоугольное, то высота \( h \) można найти через расстояние от вершины до середины основания, зная, что боковое ребро — гипотенуза прямоугольного треугольника.

Рассчитаем расстояние от вершины до центра основания (центр — точка пересечения диагоналей):

Длина диагонали основания:
\[ d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ м} \]

Расстояние от центра основания до угла:
\[ \frac{d}{2} = 5 \text{ м} \]

Пусть \( h \) — высота пирамиды, тогда, по теореме Пифагора для бокового ребра (гипотенузы):
\[ 9^2 = h^2 + 5^2 \] \[ 81 = h^2 + 25 \] \[ h^2 = 81 - 25 = 56 \] \[ h = \sqrt{56} \approx 7,48 \text{ м} \]

Шаг 4: Объем пирамиды
Площадь основания:
\[ S_{осн} = 6 \times 8 = 48 \text{ м}^2 \]

Объем:
\[ V = \frac{1}{3} \times 48 \times 7,48 \approx \frac{1}{3} \times 48 \times 7,48 \approx 16 \times 7,48 \approx 119,68 \text{ м}^3 \]

Ответ: примерно 119,68 м³.

---

Задача 3

В прямой треугольной призме стороны оснований равны 11 дм, 9 дм и 8 дм, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.

Шаг 1: Построение основания

• Основание — треугольник со сторонами 11 дм, 9 дм и 8 дм.

Шаг 2: Нахождение высоты основания
Для этого используем формулу площади треугольника по сторонам (формула Герона).

Полупериметр:
\[ p = \frac{11 + 9 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14 \]

Площадь:
\[ S_{осн} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{14 \times (14 - 11) \times (14 - 9) \times (14 - 8)} \]

\[ = \sqrt{14 \times 3 \times 5 \times 6} \]

Вычислим подкоренное:

\[14 \times 3 = 42 \]
\[5 \times 6 = 30 \]

\[ S_{осн} = \sqrt{42 \times 30} = \sqrt{1260} \approx 35,49 \text{ дм}^2 \]

Шаг 3: Высота призмы
Боковое ребро равно большей высоте основания \( h \).
Для вычисления высоты треугольника по основанию, можем найти высоту, связав её с треугольником.

Пусть высота из вершины, противоположной стороне 11 дм, — \( H \).

Используя формулу: площадь треугольника = \(\frac{1}{2} \times \text{сумма оснований}\), но проще — найти высоту через площадь.

Высота, соответствующая стороне 8 дм:
\[ h_{8} = \frac{2 \times S_{осн}}{8} = \frac{2 \times 35,49}{8} \approx 8,87 \text{ дм} \]

Значит, высота, опущенная из вершины к стороне 8 дм, примерно 8,87 дм.

Построим боковое ребро, равное большей высоте основания. Самая большая высота — это высота, проведенная к стороне 8 дм, равная примерно 8,87 дм.

Объем:
\[ V = S_{осн} \times h \] где \( h \) — высота призмы, равная боковому ребру, то есть \( \approx 8,87 \text{ дм} \).

Объем:
\[ V \approx 35,49 \times 8,87 \approx 315,38 \text{ дм}^3 \]

---

Задача 4

Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований 16 м и 4 м и высотой 3 м.

Шаг 1: Формула объема усеченной пирамиды
Объем усеченной пирамиды:
\[ V = \frac{h}{3} (S_{1} + S_{2} + \sqrt{S_{1} \times S_{2}}) \]

где:

• \( S_1 \) — площадь большего основания,
• \( S_2 \) — площадь меньшего основания,
• \( h \) — высота.

Подставим:
\[ V = \frac{3}{3} (16 + 4 + \sqrt{16 \times 4}) \]

\[ V = 1 \times (16 + 4 + \sqrt{64}) = 1 \times (20 + 8) = 28 \]

Ответ: объем равен 28 м³.

---

Если нужно более подробное объяснение конкретной задачи, скажи!