Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие.
Условия задачи:
- Уравносторонний треугольник (все стороны равны)
- Вписана окружность радиусом ( r = 2 ) см
- Нужно найти сторону треугольника ( a )
Что известно:
Для равностороннего треугольника существует множество полезных формул, связанных с радиусом вписанной окружности ( r ).
Основная формула:
Радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника выражается через сторону ( a ):
[
r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6}
]
Почему так?
- В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен ( r = \frac{h}{3} ), где ( h ) — высота треугольника.
- Высота ( h ) равна: ( h = \frac{\sqrt{3}}{2} a ).
Подставляя ( h ) в формулу для ( r ):
[
r = \frac{h}{3} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{3} = \frac{\sqrt{3} a}{6}
]
Решение:
Подставим известный радиус ( r = 2 ) см:
[
2 = \frac{\sqrt{3} a}{6}
]
Чтобы найти ( a ), умножим обе части уравнения на 6:
[
6 \times 2 = \sqrt{3} a
]
[
12 = \sqrt{3} a
]
Отсюда:
[
a = \frac{12}{\sqrt{3}}
]
Рационализируем знаменатель:
[
a = \frac{12}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3}
]
Итог:
[
\boxed{
\text{Длина стороны треугольника } a = 4 \sqrt{3} \text{ см}
}
]
Если нужно, могу помочь с приближенным численным значением или дальнейшими объяснениями!
