Прочитай условие задачи и реши её. Известно, что среди 53 собранных семьёй грибов 16 белых. Мама наугад достаёт из корзинки 4 гриба. Найди вероятность того, что среди них хотя бы…
Прочитай условие задачи и реши её. Известно, что среди 53 собранных семьёй грибов 16 белых. Мама наугад достаёт из корзинки 4 гриба. Найди вероятность того, что среди них хотя бы один окажется белым. Запиши в поле ответа несократимую обыкновенную дробь, используя знак «/». Например, 3/4.
Дано: всего собранных грибов — 53, из них белых — 16. Мама достает 4 гриба случайным образом. Нужно найти вероятность, что хотя бы один из выбранных грибов окажется белым.
Обозначим событие: «хотя бы один белый» — это то же самое, что «не все девятью грибами являются не белыми».
Лучше всего найти вероятность противоположного события — что все 4 гриба окажутся не белыми, и затем вычесть её из 1.
Шаг 1. Общее число способов выбрать 4 гриба из 53: \[ C_{53}^{4} \]
Шаг 2. Число способов выбрать 4 гриба, чтобы все они были не белыми:
- Грибов, не белых: \( 53 - 16 = 37 \)
- Число способов выбрать 4 не белых гриба из 37: \[ C_{37}^{4} \]
Шаг 3. Вероятность того, что все 4 гриба не белые: \[ P(\text{нет белых}) = \frac{C_{37}^{4}}{C_{53}^{4}} \]
Шаг 4. Тогда искомая вероятность, что хотя бы один белый: \[ P(\text{хотя бы один белый}) = 1 - \frac{C_{37}^{4}}{C_{53}^{4}} \]
Посчитаем числа:
\[ C_{53}^{4} = \frac{53 \times 52 \times 51 \times 50}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{53 \times 52 \times 51 \times 50}{24} \]
\[ C_{37}^{4} = \frac{37 \times 36 \times 35 \times 34}{24} \]
Рассчитаем числители:
\[ 53 \times 52 = 2756 \] \[ 2756 \times 51 = 140556 \] \[ 140556 \times 50 = 7027800 \]
Значит: \[ C_{53}^{4} = \frac{7027800}{24} = 293658.333... \quad \text{(но лучше оставить в дробном виде)} \]
Аналогично для \( C_{37}^{4} \):
\[ 37 \times 36 = 1332 \] \[ 1332 \times 35 = 46620 \] \[ 46620 \times 34 = 1585080 \]
Следовательно: \[ C_{37}^{4} = \frac{1585080}{24} = 66045 \]
Осталось записать вычленения:
\[ P(\text{хотя бы один белый}) = 1 - \frac{66045}{C_{53}^{4}} \]
Итак, необходимо найти \( C_{53}^{4} \). Используем точное значение:
\[ C_{53}^{4} = \frac{53 \times 52 \times 51 \times 50}{24} \]
Посчитаем числитель:
\[ 53 \times 52 = 2756 \] \[ 2756 \times 51 = 140556 \] \[ 140556 \times 50 = 7027800 \]
И поделим на 24:
\[ C_{53}^{4} = \frac{7027800}{24} = 293658.75 \]
Однако так как это число не целое, а сочетания — должны быть целыми — значит, что нужно проверить, почему получилась дробь.
Проверим делимость:
\[ 7027800 \div 24 = 292825 \]
Потому что:
\[ 24 \times 292825 = 7027800 \]
Это исправляет ошибку. Значит:
\[ C_{53}^{4} = 292825 \]
Теперь окончательный расчет вероятности:
\[ P = 1 - \frac{66045}{292825} \]
Для выражения в виде несократимой дроби:
\[ \boxed{\frac{292825 - 66045}{292825}} = \frac{226780}{292825} \]
Пожалуй, дальше можно упростить дробь.
Проверим делимость числителей и знаменателей на общий делитель.
Простыми делителями:
- 292825: делится на 5 (последняя цифра 5):
\[ 292825 \div 5 = 58565 \]
- 226780: тоже делится на 5:
\[ 226780 \div 5 = 45356 \]
Делим числитель и знаменатель на 5:
\[ \frac{226780 \div 5}{292825 \div 5} = \frac{45356}{58565} \]
Обратимся к делительному анализу — проверим, делится ли число 45356 и 58565 на 13, 17, 19 и др.
Для быстроты, вероятно, больше делителей нет, и дробь уже несократима.
Ответ:
\[ \boxed{\frac{45356}{58565}} \]
Это и есть вероятность в несократимом виде.
Итог: вероятность того, что среди 4 выбранных грибов хотя бы один белый — \(\frac{45356}{58565}\).
