На расстоянии 7 и 15 от центра шара проведены два параллельных сечения, радиусы которых относятся как 6:5. Найдите радиус шара.
Давайте решим задачу пошагово и подробно:
Дано:
- Расстояния от центра шара до двух параллельных сечений: 7 и 15.
- Радиусы сечений: относятся как 6 : 5.
Задача: Найти радиус шара (обозначим его как R).
Шаг 1. Вводные данные и иллюстрация
Представим шар с центром в точке O. Пусть на оси, проходящей через центр, расположены два параллельных сечения, на расстоянии 7 и 15 от центра O.
Обозначим:
- радиусы сечений как R1 и R2,
- R — радиус шара (неизвестен).
Так как сечения параллельны плоскости, проходящей через центр шара, то радиусы сечений связаны с расстоянием от центра и радиусом шара по формуле:
\[ R_i = \sqrt{R^2 - d_i^2}, \]
где \(d_i\) — расстояние от центра до сечения, а \(R_i\) — радиус сечения.
Шаг 2. Записываем уравнения для радиусов сечений
Для каждого сечения:
\[ R_1 = \sqrt{R^2 - 7^2} = \sqrt{R^2 - 49}, \] \[ R_2 = \sqrt{R^2 - 15^2} = \sqrt{R^2 - 225}. \]
По условию, радиусы сечений относятся как 6 : 5, то есть:
\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{6}{5}. \]
Подставим выражения для радиусов:
\[ \frac{\sqrt{R^2 - 49}}{\sqrt{R^2 - 225}} = \frac{6}{5}. \]
Шаг 3. Решаем уравнение
Перепишем:
\[ \frac{\sqrt{R^2 - 49}}{\sqrt{R^2 - 225}} = \frac{6}{5}. \]
Квадрат обеих частей уравнения:
\[ \frac{R^2 - 49}{R^2 - 225} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}. \]
Теперь умножим обе части на \(\;R^2 - 225\):
\[ R^2 - 49 = \frac{36}{25} (R^2 - 225). \]
Раскроем скобки:
\[ R^2 - 49 = \frac{36}{25} R^2 - \frac{36}{25} \times 225. \]
Вычислим \(\frac{36}{25} \times 225\):
\[ 225 = 25 \times 9, \] \[ \frac{36}{25} \times 225 = 36 \times 9 = 324. \]
Итак, уравнение:
\[ R^2 - 49 = \frac{36}{25} R^2 - 324. \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ R^2 - \frac{36}{25} R^2 = -324 + 49, \] \[ R^2 \left(1 - \frac{36}{25}\right) = -275. \]
Вычислим:
\[ 1 - \frac{36}{25} = \frac{25}{25} - \frac{36}{25} = -\frac{11}{25}. \]
Тогда:
\[ R^2 \times \left(-\frac{11}{25}\right) = -275, \]
откуда:
\[ R^2 = \frac{-275 \times 25}{-11}. \]
Упростим:
\[ R^2 = \frac{-275 \times 25}{-11} = \frac{275 \times 25}{11}. \]
Посчитаем числитель:
\[ 275 \times 25 = (275 \times 20) + (275 \times 5) = 5500 + 1375 = 6875. \]
Теперь делим:
\[ R^2 = \frac{6875}{11} \approx 625. \]
Обратите внимание, что \(625 = 25^2\), поэтому:
\[ R = \sqrt{625} = 25. \]
Ответ:
Радиус шара равен 25.
Если нужны дополнительные пояснения или есть вопросы — я с радостью помогу!
