На расстоянии 7 и 15 от центра шара проведены два параллельных сечения, радиусы которых относятся как 6:5. Найдите радиус шара.

Давайте решим задачу пошагово и подробно: **Дано:** - Расстояния от центра шара до двух параллельных сечений: 7 и 15. - Радиусы сечений: относятся как 6 : 5. **Задача:** Найти радиус шара (обозначим его как R). --- ### Шаг 1. Вводные данные и иллюстрация Представим шар с центром в точке O. Пусть на оси, проходящей через центр, расположены два параллельных сечения, на расстоянии 7 и 15 от центра O. Обозначим: - радиусы сечений как R1 и R2, - R — радиус шара (неизвестен). Так как сечения параллельны плоскости, проходящей через центр шара, то радиусы сечений связаны с расстоянием от центра и радиусом шара по формуле: \[ R_i = \sqrt{R^2 - d_i^2}, \] где \(d_i\) — расстояние от центра до сечения, а \(R_i\) — радиус сечения. --- ### Шаг 2. Записываем уравнения для радиусов сечений Для каждого сечения: \[ R_1 = \sqrt{R^2 - 7^2} = \sqrt{R^2 - 49}, \] \[ R_2 = \sqrt{R^2 - 15^2} = \sqrt{R^2 - 225}. \] По условию, радиусы сечений относятся как 6 : 5, то есть: \[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{6}{5}. \] Подставим выражения для радиусов: \[ \frac{\sqrt{R^2 - 49}}{\sqrt{R^2 - 225}} = \frac{6}{5}. \] --- ### Шаг 3. Решаем уравнение Перепишем: \[ \frac{\sqrt{R^2 - 49}}{\sqrt{R^2 - 225}} = \frac{6}{5}. \] Квадрат обеих частей уравнения: \[ \frac{R^2 - 49}{R^2 - 225} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}. \] Теперь умножим обе части на \(\;R^2 - 225\): \[ R^2 - 49 = \frac{36}{25} (R^2 - 225). \] Раскроем скобки: \[ R^2 - 49 = \frac{36}{25} R^2 - \frac{36}{25} \times 225. \] Вычислим \(\frac{36}{25} \times 225\): \[ 225 = 25 \times 9, \] \[ \frac{36}{25} \times 225 = 36 \times 9 = 324. \] Итак, уравнение: \[ R^2 - 49 = \frac{36}{25} R^2 - 324. \] Перенесем все в левую сторону: \[ R^2 - \frac{36}{25} R^2 = -324 + 49, \] \[ R^2 \left(1 - \frac{36}{25}\right) = -275. \] Вычислим: \[ 1 - \frac{36}{25} = \frac{25}{25} - \frac{36}{25} = -\frac{11}{25}. \] Тогда: \[ R^2 \times \left(-\frac{11}{25}\right) = -275, \] откуда: \[ R^2 = \frac{-275 \times 25}{-11}. \] Упростим: \[ R^2 = \frac{-275 \times 25}{-11} = \frac{275 \times 25}{11}. \] Посчитаем числитель: \[ 275 \times 25 = (275 \times 20) + (275 \times 5) = 5500 + 1375 = 6875. \] Теперь делим: \[ R^2 = \frac{6875}{11} \approx 625. \] Обратите внимание, что \(625 = 25^2\), поэтому: \[ R = \sqrt{625} = 25. \] --- ### **Ответ:** **Радиус шара равен 25.** --- Если нужны дополнительные пояснения или есть вопросы — я с радостью помогу!