комплексные числа как решать с объяснением пример
Конечно! Рассмотрим пример по работе с комплексными числами и подробно разберем, как их решать.
Пример:
Найти сумму и произведение комплексных чисел \( z_1 = 3 + 4i \) и \( z_2 = 1 - 2i \).
Решение:
1. Сумма комплексных чисел
Чтобы сложить два комплексных числа, складываем их действительные части и мнимые части отдельно.
\[ z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) \]
Шаги:
- Действительные части: \( 3 + 1 = 4 \)
- Мнимые части: \( 4i + (-2i) = 2i \)
Ответ:
\[ z_1 + z_2 = 4 + 2i \]
2. Произведение комплексных чисел
Чтобы умножить два комплексных числа, используем правило распределения и свойства i (\( i^2 = -1 \)).
\[ z_1 \times z_2 = (3 + 4i) \times (1 - 2i) \]
Шаги:
Раскроем скобки, используя distribute (распределенное умножение):
\[ = 3 \times 1 + 3 \times (-2i) + 4i \times 1 + 4i \times (-2i) \]
Вычисляем каждое слагаемое:
- \( 3 \times 1 = 3 \)
- \( 3 \times (-2i) = -6i \)
- \( 4i \times 1 = 4i \)
- \( 4i \times (-2i) = -8i^2 \)
Поскольку \( i^2 = -1 \), то:
\[ -8i^2 = -8 \times (-1) = +8 \]
Итого:
\[ = 3 - 6i + 4i + 8 \]
Объединяем подобные:
- Действительные: \( 3 + 8 = 11 \)
- Мнимые: \( -6i + 4i = -2i \)
Ответ:
\[ z_1 \times z_2 = 11 - 2i \]
Итог:
- Сумма: \( 4 + 2i \)
- Произведение: \( 11 - 2i \)
Если нужно, я могу объяснить подробнее любые шаги или помочь с другими заданиями по комплексным числам!
