Конечно! Давайте разберем пример с комплексными числами, чтобы понять основные операции и использовать необходимые формулы. Я подготовлю пример с пошаговыми объяснениями и формулами. --- ## Пример: Вычисление произведения и деления комплексных чисел Рассмотрим два комплексных числа: \[ z_1 = 3 + 4i \] \[ z_2 = 1 - 2i \] **Задача:** найти произведение \(\,z_1 \times z_2\) и частное \(\,z_1 \div z_2\). --- # 1. Произведение комплексных чисел ### Формула для произведения: Если есть два комплексных числа: \[ z_1 = a + bi,\quad z_2 = c + di, \] то их произведение: \[ z_1 \times z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2. \] Здесь используют свойство \(i^2 = -1\). --- ### Шаг 1. Раскроем скобки: \[ z_1 \times z_2 = ac + adi + bci + bd(i^2) \] \[ = ac + adi + bci - bd,\quad так как \(i^2 = -1\). --- ### Шаг 2. Группируем действительную и мнимую части: \[ \text{Действительная часть}:\quad ac - bd, \] \[ \text{Мнимая часть}:\quad ad + bc. \] **Итоговая формула:** \[ z_1 \times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i. \] --- ### Шаг 3. Подставим наши значения: \[ a=3,\quad b=4,\quad c=1,\quad d=-2. \] Обчисление: \[ \text{Действительная часть:}\quad 3 \times 1 - 4 \times (-2) = 3 + 8 = 11, \] \[ \text{Мнимая часть:}\quad 3 \times (-2) + 4 \times 1 = -6 + 4 = -2. \] **Ответ:** \[ z_1 \times z_2 = 11 - 2i. \] --- # 2. Деление комплексных чисел ### Формула для деления: Для деления \(\frac{z_1}{z_2}\) мы умножаем числитель и знаменатель на сопряженное число к \(z_2\): \[ \frac{a + bi}{c + di} \times \frac{c - di}{c - di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}. \] #### Специально: \[ (c + di)(c - di) = c^2 + d^2, \] так как : \[ (c + di)(c - di) = c^2 - c di + c di - d^2 i^2 = c^2 + d^2, \] а ведь \(i^2 = -1\). --- ### Шаг 1. Найдём числитель: \[ (a + bi)(c - di) = ac - adi + bci - bdi^2. \] \[ = ac - adi + bci + bd,\quad так как \(i^2 = -1\). Теперь раскладываем по действительной и мнимой части: \[ \text{действительная}: ac + bd, \] \[ \text{мнимая}: -ad + bc. \] --- ### Шаг 2. Подставим значения: \[ a=3,\quad b=4,\quad c=1,\quad d=-2. \] Обчисление: \[ \text{Действительная часть числителя}: \quad 3 \times 1 + 4 \times (-2) = 3 - 8 = -5, \] \[ \text{Мнимая часть числителя}: \quad -3 \times (-2) + 4 \times 1 = 6 + 4 = 10. \] ### Шаг 3. Обща формула деления: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{-5 + 10i}{c^2 + d^2} = \frac{-5 + 10i}{1^2 + (-2)^2} = \frac{-5 + 10i}{1 + 4} = \frac{-5 + 10i}{5}. \] ### Шаг 4. Разделим каждую часть на 5: \[ \boxed{ \frac{z_1}{z_2} = -1 + 2i. } \] --- # Итог: - **Произведение:** \(11 - 2i\) - **Частное:** \(-1 + 2i\) --- Если нужно, я могу подготовить ещё примеры или объяснить другие операции с комплексными числами!