Конечно! Давайте разберем пример с комплексными числами, чтобы понять основные операции и использовать необходимые формулы. Я подготовлю пример с пошаговыми объяснениями и формулами.

---

Пример: Вычисление произведения и деления комплексных чисел

Рассмотрим два комплексных числа: \[ z_1 = 3 + 4i \] \[ z_2 = 1 - 2i \]

Задача: найти произведение \(\,z_1 \times z_2\) и частное \(\,z_1 \div z_2\).

---

1. Произведение комплексных чисел

Формула для произведения:

Если есть два комплексных числа: \[ z_1 = a + bi,\quad z_2 = c + di, \] то их произведение: \[ z_1 \times z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2. \]

Здесь используют свойство \(i^2 = -1\).

---

Шаг 1. Раскроем скобки:

\[ z_1 \times z_2 = ac + adi + bci + bd(i^2) \] \[ = ac + adi + bci - bd,\quad так как \(i^2 = -1\). --- ### Шаг 2. Группируем действительную и мнимую части: \[ \text{Действительная часть}:\quad ac - bd, \] \[ \text{Мнимая часть}:\quad ad + bc. \]

Итоговая формула: \[ z_1 \times z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i. \]

---

Шаг 3. Подставим наши значения:

\[ a=3,\quad b=4,\quad c=1,\quad d=-2. \]

Обчисление: \[ \text{Действительная часть:}\quad 3 \times 1 - 4 \times (-2) = 3 + 8 = 11, \] \[ \text{Мнимая часть:}\quad 3 \times (-2) + 4 \times 1 = -6 + 4 = -2. \]

Ответ: \[ z_1 \times z_2 = 11 - 2i. \]

---

2. Деление комплексных чисел

Формула для деления:

Для деления \(\frac{z_1}{z_2}\) мы умножаем числитель и знаменатель на сопряженное число к \(z_2\): \[ \frac{a + bi}{c + di} \times \frac{c - di}{c - di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)}. \]

Специально:

\[ (c + di)(c - di) = c^2 + d^2, \] так как : \[ (c + di)(c - di) = c^2 - c di + c di - d^2 i^2 = c^2 + d^2, \] а ведь \(i^2 = -1\).

---

Шаг 1. Найдём числитель:

\[ (a + bi)(c - di) = ac - adi + bci - bdi^2. \] \[ = ac - adi + bci + bd,\quad так как \(i^2 = -1\). Теперь раскладываем по действительной и мнимой части: \[ \text{действительная}: ac + bd, \] \[ \text{мнимая}: -ad + bc. \]

---

Шаг 2. Подставим значения:

\[ a=3,\quad b=4,\quad c=1,\quad d=-2. \]

Обчисление: \[ \text{Действительная часть числителя}: \quad 3 \times 1 + 4 \times (-2) = 3 - 8 = -5, \] \[ \text{Мнимая часть числителя}: \quad -3 \times (-2) + 4 \times 1 = 6 + 4 = 10. \]

Шаг 3. Обща формула деления:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{-5 + 10i}{c^2 + d^2} = \frac{-5 + 10i}{1^2 + (-2)^2} = \frac{-5 + 10i}{1 + 4} = \frac{-5 + 10i}{5}. \]

Шаг 4. Разделим каждую часть на 5:

\[ \boxed{ \frac{z_1}{z_2} = -1 + 2i. } \]

---

Итог:

• Произведение: \(11 - 2i\)
• Частное: \(-1 + 2i\)

---

Если нужно, я могу подготовить ещё примеры или объяснить другие операции с комплексными числами!