При максимальной аккомодации радиус кривизны передней поверхности хрусталика изменяется от 10 до 5,5 мм, задней – соответственно от 6 до 5,5 мм. На сколько, при этом увеличится…
При максимальной аккомодации радиус кривизны передней поверхности хрусталика изменяется от 10 до 5,5 мм, задней – соответственно от 6 до 5,5 мм. На сколько, при этом увеличится оптическая сила хрусталика. Показатель преломления хрусталика 1,424, в окружающей среде 1,336.
Для решения этой задачи нам необходимо определить изменение оптической силы хрусталика при изменении кривизны его передней и задней поверхностей.
Шаг 1. Формулы для оптической силы линзы
Оптическая сила (F) тонкой линзы определяется по формуле:
\[ F = (p_1 - p_2) \]
где \( p_1 \) и \( p_2 \) — показатели преломления среды и линзы, выраженные через радиусы кривизны поверхностей.
Для обзорной модели глаза можно использовать формулу для очков, с учетом радиусов кривизны:
\[ \frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]
где:
- \( n \) — показатель преломления хрусталика,
- \( R_1 \), \( R_2 \) — радиусы кривизны передней и задней поверхностей (принимаем положительные по определенной системе).
Оптическая сила:
\[ F = \frac{1}{f} \]
Шаг 2. Исходные данные
Передняя поверхность:
- Максимальный радиус: \( R_{1_{max}} = 10\,мм \)
- Минимальный радиус: \( R_{1_{min}} = 5.5\,мм \)
Задняя поверхность:
- Максимальный радиус: \( R_{2_{max}} = 6\,мм \)
- Минимальный радиус: \( R_{2_{min}} = 5.5\,мм \)
Показатель преломления хрусталика: \( n = 1.424 \)
Внешняя среда: \( n_0 = 1.336 \)
Для вычислений возьмем \( (n - 1) \):
\[ n - 1 = 1.424 - 1 = 0.424 \]
Шаг 3. Формулы для оптической силы
Итак, оптическая сила:
\[ F = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \]
для передней поверхности:
\[ F_{front} = 0.424 \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) \]
где радиусы \( R_1 \) и \( R_2 \) меняются.
Шаг 4. Расчет изменения оптической силы
При максимально выпуклой передней поверхности (R = 10 мм):
\[ F_{front, max} = 0.424 \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{6} \right) \]
\[ = 0.424 \left( 0.1 - 0.1667 \right) = 0.424 \times (-0.0667) \approx -0.0283\,Дптр \]
При максимально вогнутой передней поверхности (R = 5.5 мм):
\[ F_{front, min} = 0.424 \left( \frac{1}{5.5} - \frac{1}{6} \right) \]
\[ = 0.424 \left( 0.1818 - 0.1667 \right) = 0.424 \times 0.0151 \approx 0.0064\,Дптр \]
Для задней поверхности (R=6 мм и R=5.5 мм):
Максимально выпуклая (R=6 мм):
\[ F_{back, max} = 0.424 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{5.5} \right) \]
\[ = 0.424 \left( 0.1667 - 0.1818 \right) = 0.424 \times (-0.0151) \approx -0.0064\,Дптр \]
Минимальная (R=5.5 мм):
\[ F_{back, min} = 0.424 \left( \frac{1}{5.5} - \frac{1}{5.5} \right) = 0 \]
так как оба радиуса равны.
Шаг 5. Итоговое изменение
Теперь определим, как изменяется общая оптическая сила:
- Предняя поверхность увеличивает или уменьшает оптическую силу в пределах примерно \(\pm 0.0283\,Дптр\)
- Задняя поверхность влияет примерно на \(\pm 0.0064\,Дптр\)
При уменьшении радиуса кривизны передней поверхности (статус "аккоадации" — хрусталик становится более выпуклым), оптическая сила увеличится.
Общее изменение (учитывая направления):
\[ \Delta F = F_{front, min} + F_{back, min} - (F_{front, max} + F_{back, max}) \]
или проще — разность между максимумом и минимумом.
Наибольшая увеличенная оптическая сила:
\[ F_{max} = (0.0283 + 0.0064) \approx 0.0347\,Дптр \]
Наименьшая:
\[ F_{min} \approx -0.0283 - 0.0064 = -0.0347\,Дптр \]
Итак, при максимальном аккомодационном изменении оптическая сила увеличивается примерно на 0.0347 диоптрий.
Ответ:
При увеличении кривизны передней поверхности с 10 мм до 5,5 мм и задней с 6 мм до 5,5 мм оптическая сила хрусталика увеличится примерно на 0,035 диоптрий.
