комплексные числа пример решение с объяснением формулы
Конечно! Давайте разберем пример с комплексными числами, включая решение и объяснение, а также основные формулы.
Пример:
Найти сумму и произведение двух комплексных чисел:
\[ z_1 = 3 + 4i \]
\[ z_2 = 1 - 2i \]
Решение:
1. Сложение комплексных чисел:
Формула:
\[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]
Применение к примеру:
\[ z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) \]
Выполняем сложение:
- Реальные части: \( 3 + 1 = 4 \)
- Мнимае части: \( 4i + (-2i) = 2i \)
Ответ:
\[ z_1 + z_2 = 4 + 2i \]
2. Произведение комплексных чисел:
Формула:
\[ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
Поскольку \( i^2 = -1 \), то:
\[ (a + bi)(c + di) = ac + (ad)i + (bc)i + bd(-1) \]
Объединяем полученные выражения:
\[ ac - bd + (ad + bc)i \]
Применение к примеру:
\[ z_1 \times z_2 = (3 + 4i)(1 - 2i) \]
Раскроем скобки:
- \( ac = 3 \times 1 = 3 \)
- \( ad = 3 \times (-2) = -6 \)
- \( bc = 4 \times 1 = 4 \)
- \( bd = 4 \times (-2) = -8 \)
Преобразуем:
\[ 3 + (-6)i + 4i + (-8)(-1) \]
Объединяем:
- Реальные части: \( 3 + 8 = 11 \)
- Мнимые части: \( -6i + 4i = -2i \)
Ответ:
\[ z_1 \times z_2 = 11 - 2i \]
Итог:
- Сумма: \( 4 + 2i \)
- Произведение: \( 11 - 2i \)
Если нужны дополнительные пояснения или другой пример — скажите!
