как решить систему х в квадрате- у в квадрате = 12 х-у=6
Вы задали систему уравнений:
- \( x^2 - y^2 = 12 \)
- \( x - y = 6 \)
Цель — понять, как найти решения этой системы. Разберём пошагово.
Шаг 1. Обозначим известную разность:
Из второго уравнения:
\[ x - y = 6 \]
Это выражение удобно использовать при преобразовании первого уравнения.
Шаг 2. Используем тождество разности квадратов
Первое уравнение:
\[ x^2 - y^2 = 12 \]
Это можно переписать как:
\[ (x - y)(x + y) = 12 \]
Шаг 3. Подставляем значение \( x - y \)
Из второго уравнения:
\[ x - y = 6 \]
Подставляем в тождество:
\[ 6 \times (x + y) = 12 \]
Или:
\[ x + y = \frac{12}{6} = 2 \]
Теперь у нас есть система двух уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y = 2 \\
x - y = 6
\end{cases}
\]
Шаг 4. Решение системы линейных уравнений
Добавим эти уравнения:
\[ (x + y) + (x - y) = 2 + 6 \]
\[ 2x = 8 \]
\[ x = 4 \]
Применим полученное значение \( x \) в одно из уравнений для нахождения \( y \):
\[ x + y = 2 \] \[ 4 + y = 2 \] \[ y = 2 - 4 = -2 \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = 4, \quad y = -2 } \]
Это единственное решение системы.
Проверка:
Подставим обратно в исходные уравнения:
- \( x^2 - y^2 = 4^2 - (-2)^2 = 16 - 4 = 12 \) — верно.
- \( x - y = 4 - (-2) = 6 \) — верно.
Общая проверка подтверждает правильность решения.
Если есть еще вопросы или нужно подробнее — обращайтесь!
