На даче завелись ящерицы. Спасаясь от Васи, они бегают по крыльцу и отбрасывают хвосты. В 1-й день Соня нашла 2 хвоста, во 2-й — 4 хвоста, в 3-й — 6 хвостов, … на k-й день она…

Давайте подробно разберем задачу и найдем ответ.

Задача повторяет следующее:

• Каждый день Соня находит определенное количество хвостов, которое равно \( 2 \times k \), где \( k \) — номер дня.
• В первый день — 2 хвоста, во второй — 4, в третий — 6, и так далее.
• Нужно определить, в какой день сумма всех найденных хвостов впервые станет строго больше заданного числа \( n \).

---

Шаг 1: Запишем сумму найденных хвостов до дня \( k \).

Количество хвостов на \( k \)-й день:
\[ a_k = 2k \]

Общая сумма хвостов за \( k \) дней:
\[ S_k = \sum_{i=1}^k 2i \]

Это сумма арифметической прогрессии:
\[ S_k = 2 \times (1 + 2 + 3 + \dots + k) \]

Известна формула суммы чисел от 1 до \( k \):
\[ 1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2} \]

Следовательно, сумма хвостов:
\[ S_k = 2 \times \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) \]

---

Шаг 2: Определим условие задачи.

Нам нужно найти минимальное целое число \( k \), такое, что:
\[ S_k > n \]

Подставляем выражение для суммы:
\[ k(k+1) > n \]

---

Шаг 3: Решение неравенства.

Итак, нам нужно решить неравенство:
\[ k^2 + k > n \]

Это квадратичное неравенство.
Перепишем:
\[ k^2 + k - n > 0 \]

Рассмотрим его как квадратичное уравнение:
\[ k^2 + k - n = 0 \]

Решение:
\[ k = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4n}}{2} \]

Поскольку \( k \) — это номер дня и он должен быть положительным, рассматриваем только положительный корень:
\[ k = \frac{-1 + \sqrt{1+4n}}{2} \]

---

Шаг 4: Находим минимальное целое \( k \), удовлетворяющее условию.

Поскольку неравенство строгое (\( > n \)), то:
\[ k > \frac{-1 + \sqrt{1+4n}}{2} \]

Поскольку \( k \) — целое, нужное минимальное значение — это следующая за этой границей целая часть, то есть
\[ k = \left\lceil \frac{-1 + \sqrt{1+4n}}{2} \right\rceil \]

Но важно учитывать, что именно при этом \(k\) выполнение неравенства:
\[ k(k+1) > n \]

---

ИТОГОВЫЙ ответ:

Чтобы найти день, когда сумма впервые станет больше \( n \), нужно:

1. Вычислить дискриминант:
   \[ D = \sqrt{1 + 4n} \]

2. Определить \(k\):
   \[ k = \left\lceil \frac{-1 + D}{2} \right\rceil \]

Это и будет искомым днем.

---

Пример:

Если \( n = 20 \):

1. Вычислим дискриминант:
   \[ D = \sqrt{1 + 4 \times 20} = \sqrt{1 + 80} = \sqrt{81} = 9 \]

2. Находим \(k\):
   \[ k = \left\lceil \frac{-1 + 9}{2} \right\rceil = \left\lceil \frac{8}{2} \right\rceil = \left\lceil 4 \right\rceil = 4 \]

Проверим сумму за 3 и 4 дня:

• За 3 дня: \(3 \times 4 = 12\). Это меньше \(20\), значит — не достаточно.
• За 4 дня: \(4 \times 5 = 20\). равна \(20\). Тогда нужно проверить следующий день.

А, так как условие — "впервые становится строго больше \( n \)", то нужно проверить сумму 5 дней:

• За 5 дней: \(5 \times 6 = 30 > 20\). Значит, ответ — 5-й день.

Данный пример показывает, что при использовании формулы нужно немного уточнить: поскольку \(\left\lceil \frac{-1 + D}{2} \right\rceil\) даёт день, где сумма равна или превышает \( n \), а нам нужно именно строго больше, то:

• если сумма при рассчете равна \( n \), то надо увеличить день на 1.

---

Итоговая формула с учетом этого:

Если сумма \(\ f(k) = k(k+1) \geq n \), то:

• если равно \( n \), то ответ — \( k + 1 \)
• иначе — \( k \)

Но проще всего — после определения \(k\), проверить сумму. Если сумма равна \( n \), увеличить \( k \) на 1.

---

Общий алгоритм:

1. Вычислить \(D = \sqrt{1 + 4n}\)
2. Посчитать \(k_0 = \left\lceil \frac{-1 + D}{2} \right\rceil\)
3. Проверить сумму \(S_{k_0} = k_0(k_0 + 1)\):
   • Если \(S_{k_0} \leq n\), то ответ — \(k_0 + 1\)
   • Иначе — ответ — \(k_0\)

---

Если есть конкретное число \(n\), я могу помочь посчитать точный день!