Для решения данной задачи используем понятия теории вероятностей. Обозначим:
- ( P(\text{бракованный}) = 0,03 )
- Тогда вероятность, что фонарик не бракованный: ( P(\text{не бракованный}) = 1 - P(\text{бракованный}) = 1 - 0,03 = 0,97 )
Задача: найти вероятность, что при случайном выборе двух фонариков из партии оба не бракованные.
Поскольку выбор осуществляется без возврата (предположим, что так), то:
- Вероятность, что первый выбранный фонарик не бракованный: ( 0,97 )
- После этого в партии остается один не бракованный фонарик и уменьшилась общая численность, но так как вероятность дана исходя из большой партии, предположим, что вероятность для второго не бракованного фонарика остается примерно такой же.
Однако, для точного вычисления при выборке без возврата, нужно учитывать изменение вероятности после первого выбора.
Допустим, в партии есть много фонариков, и ( p = 0,97 ) — вероятность, что выбранный случайно фонарик не бракованный.
Тогда:
- Вероятность, что оба выбранных фонарика не бракованные: произведение вероятностей того, что первый не бракованный, и что второй тоже не бракованный, при условии, что первый не бракованный.
Формула:
[
P(\text{оба не бракованные}) = P(\text{первый не бракованный}) \times P(\text{второй не бракованный | первый не бракованный})
]
Поскольку брак и не брак распределены случайно и независимо (если много фонариков), то:
[
P(\text{оба не бракованные}) \approx 0,97 \times 0,97 = 0,9409
]
Если нужна более точная формула для конечной партии, например, всего ( N ) фонариков, и бракованных ( 0.03N ), то:
[
P(\text{оба не бракованные}) = \frac{\text{число не бракованных} \choose 2}{\text{всего} \choose 2} = \frac{\binom{0,97N}{2}}{\binom{N}{2}}
]
Но при больших ( N ), приближение к ( 0,97^2 ) очень точно.
Ответ: вероятность, что два случайно выбранных из партии фонарика не бракованные, примерно равна 0,9409 или 94,09%.
