Класс 8 « Итоговая контрольная работа по геометрии Вариант 2. 1. Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 11. Найдите площадь этого треугольника. Ответ 2. Найди острый…

Конечно! Вот подробные решения для каждого из заданий:

---

1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если катеты равны 4 и 11.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \times 4 \times 11 = 2 \times 11 = 22 \]

Ответ: 22

---

2. Найдите острый угол параллелограмма, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол в 20°.

Обоснование:

• В параллелограмме противоположные углы равны, а со стороны параллельны стороны, и биссектриса угла делит его пополам.

• Пусть угол А равен \( \alpha \), тогда биссектриса делит его на два равных угла по \( \frac{\alpha}{2} \).

• Биссектриса угла А внутри параллелограмма образует с стороной ВС угол 20°. Это означает, что угол между биссектрисой и стороной ВС равен 20°.

• Однако для точного решения стоит провести дополнительные построения или использовать свойства углов.

Но так как это довольно сложное задание, и точных данных хватает для понимания, возможное решение — через свойства биссектрисы и углы:

Обозначим:

• Угол A — \( \alpha \),

• Тогда боковые углы — \( \beta \),

• В параллелограмме \( \alpha + \beta = 180° \).

• Известно, что биссектриса угла А образует с стороной ВС 20°, то есть угол между биссектрисой и стороной — 20°.

• В случае параллелограмма углы А и C равны \( \alpha \), а боковые — \( \beta \).

• Для острого угла \( \alpha \), чтобы отдать точный ответ, нужно знать более точные данные или сделать задачу более конкретной.

Поскольку в условии недостаточно деталей, предполагаем, что ответ — 40°, если полагаем, что это остроконечный угол и биссектриса делит его пополам:

Ответ: 40° (приблизительно)

---

3. На клетчатой бумаге изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Обоснование:

• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
• Обозначим основания как \( a \) и \( b \).

*Так как конкретных значений оснований в условии не приведено, — предположим, что:

\[ \text{Средняя линия} = \frac{a + b}{2} \]

Если у вас есть конкретные длины оснований, подставьте их и посчитайте. В вопросе их не указано, так что:

Ответ: \(\frac{a + b}{2}\)

---

4. Длина лестницы, приставленной к окну на высоте 12 м и отстоит от стены на 5 м.

Решение:

Используем теорему Пифагора для треугольника:
Длина лестницы \( L \):

\[ L = \sqrt{(12)^2 + (5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\,\text{м} \]

Ответ: 13 м

---

5. В треугольнике \( ABC \), угол \( C = 90° \), \( AC = 12 \), \( \sin B = 0.5 \). Найти \( AB \).

Обоснование:

• Угол \( C \) — прямой.
• \( AC \) — катет, прилегающий к углу \( C \).
• \( \sin B = 0.5 \) — в треугольнике sin угла равен противолежащему катету к гипотенузе.

Пусть:

• \( AB \) — гипотенуза,
• \( BC \) — противолежащий катет угла \( B \).

Так как \( \sin B = 0.5 \), тогда:

\[ \sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = 0.5 \]

и:

\[ \text{противолежащий катет} = 0.5 \times AB \]

Также по Пифагору:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Но \( AC \) — это известный катет, равный 12. А сторону \( BC \) равна противолежащему катету угла \( B \):

\[ BC = 0.5 \times AB \]

Подставим:

\[ 12^2 + (0.5 \times AB)^2 = AB^2 \]

\[ 144 + 0.25 \times AB^2 = AB^2 \]

Переносим:

\[ 144 = AB^2 - 0.25 \times AB^2 = 0.75 \times AB^2 \]

Следовательно:

\[ AB^2 = \frac{144}{0.75} = 192 \]

Ответ:

\[ AB = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8 \sqrt{3} \approx 13.856 \]

Ответ: \( 8 \sqrt{3} \) см (приблизительно 13.86 см)

---

6. Периметр ромба равен 12, угол 30°. Найдите площадь ромба.

Решение:

• Периметр: \( P = 4a = 12 \), тогда сторона:

\[ a = \frac{12}{4} = 3 \]

• Угол \( \angle = 30° \).

Площадь ромба:

\[ S = a^2 \times \sin \theta \]

где \( \theta = 30° \):

\[ S = 3^2 \times \sin 30° = 9 \times 0.5 = 4.5 \]

Ответ: 4.5

---

7. В окружности с центром \( O \), \( AC \) и \( BD \) — диаметры. \(\angle AOD = 114°\), найдите \(\angle ABC\).

Обоснование:

• Диаметры \( AC \) и \( BD \) — в окружности, значит углы, опирающиеся на диаметры, равны 90°.

• \(\angle AOD = 114°\) — угол центра, опирающийся на дугу \( AD \).

• Углы при вершинах \( A \) и \( C \), \( B \) — на окружности, связаны с дугами.

• Угол \( ABC \) — вписанный и он опирается на дугу, за которой следует длина.

• В случае двух диаметров, угол, опирающийся на дугу, равен половине ее measure.

• \(\angle AOD = 114°\) — центральный угол, он опирается на дугу \( AD \).

• Тогда:

\[ \angle ABC = \frac{ \text{дуга, на которую опирается} \angle ABC }{2} \]

• Нужно определить дугу, соответствующую этому углу.

• Так как \( \angle AOD \) — центральный, то дуга \( AD \):

\[ \text{Дуга } AD = 114° \]

• Тогда дуга, соответствующая \( \angle ABC \), — это та, которая не включает \( A \) и \( D \), то есть:

\[ \text{Дуга, на которую опирается } \angle ABC = 180° - 114° = 66° \]

Поскольку вписанный угол — половина дуги:

\[ \angle ABC = \frac{66°}{2} = 33° \]

Ответ: 33°

---

8. Докажите, что треугольники \( CBD \) и \( BDA \) подобны, при условии, что \( BC \) и \( AD \) — основания трапеции \( ABCD \), где \( BC \parallel AD \), основания равны 3 и 12, \( BD = 6 \).

Доказательство:

• В трапеции \( ABCD \):

  • \( BC \parallel AD \),
  • основания: \( BC = 3 \), \( AD = 12 \),
  • боковые стороны \( AB \) и \( CD \) — наклонные.

• Треугольники \( CBD \) и \( BDA \):

  • Общий угол \( B \),
  • \( BC \parallel AD \) — по признаку равенства углов при параллельных сторонах и секущих, углы при основании равны.

• Рассмотрим треугольники:

  • В треугольнике \( CBD \) и \( BDA \):

    • угол \( CBD \) равен углу \( BDA \) (по накрест лежащим углам или по пропусканию параллельных сторон),

    • стороны \( BC \) и \( AD \) соответствуют, соотношение их равно \( 3:12 = 1:4 \).

• Таким образом, треугольники:

\[ \frac{CB}{BA} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]

• Углы и стороны подобны по двум углам (по углам при основании и пропорциональности сторон).

Следовательно, треугольники \( CBD \) и \( BDA \) подобны.

---

Если есть ещё вопросы, обращайтесь!