в треугольнике abc проведена медиана am биссектриса bn и высота ck. Укажите номера верных утверждений 1) BM=CM 2) AN=CN 3) уголBAM=уголCAM 4) уголABN=уголCBN 5) уголAKC=90 6)…

Давайте разберёмся с этим заданием подробно.

Дано:

• В треугольнике ABC проведены:
  • медиана AM, то есть линия от вершины A к середине стороны BC, обозначим её M.
  • биссектриса BN, то есть линия, делящая угол B пополам, с точкой N.
  • высота CK, проведённая из вершины C к основанию AB, точка пересечения с AB обозначена как K.

Нужно определить, какие из приведённых утверждений являются верными.

Анализ утверждений:

1. BM = CM

• M — середина BC (по определению медианы).
• В треугольнике BCM, поскольку M — середина BC, при проведении медианы BM, точка M делит сторону BC пополам.
• В треугольнике BC, со средней линией, равны только стороны, если есть равенство или специальные условия, но здесь важно, что M — середина BC, значит, BM и CM — равно по абсолютной длине (так как M — середина).
• Следовательно, BM = CM.
• Это утверждение верно.

2. AN = CN

• N — точка пересечения биссектрисы угла B.
• Внутри треугольника, биссектриса делит противоположную сторону в отношении longer:
  \[ \frac{AN}{NC} = \frac{ AB }{ BC } \].
• В общем случае, AN ≠ CN.
• Это не означает равенство, а делит сторону в пропорции сторон треугольника.
• Значит, утверждение ложное.

3. уголBAM = уголCAM

• В треугольнике ABC, точки M — середина BC.
• Углы BAM и CAM — это углы, при вершине A, между линиями AМ и AС.
• Так как М — середина BC, не видно, что эти углы равны, без дополнительных условий.
• Также, в этом случае, обе стороны — это стороны треугольника, и свои соответствующие углы.
• В общем случае, углы BAM и CAM не обязательно равны.
• Следовательно, утверждение ложно.

4. уголABN = уголCBN

• N — точка пересечения биссектрисы угла B.
• Углы ANB и CNB — это углы, прилежащие к биссектрисе.
• Внутри треугольника, биссектриса делит угол B на две равные части:
  \[ \angle ABN = \angle CBN \],
  потому что N — точка деления биссектрисы, делящая угол B на равные части.
• Это утверждение верно.

5. уголAKC=90

• K — точка, где высота из C перпендикулярна AB.
• Таким образом, угол AKC — это угол между высотой CK и линией, проходящей через K и A.
• Высота CK перпендикулярна AB, значит, угол АКC, который образуется треугольниками, скорее всего, равен 90°, если мы рассматриваем, что A, K, C расположены так, что угол при K (в точке K) — угол в 90°.
• Дано: CK — высота, значит, угол при K между CK и AB — 90°, и A — одна из точек, где высота строится.
• Но угол АКC — это угол между линией A K и линией C K?
• В таком случае, скорее, это угол при K между AK и KC, где KC — высота, перпендикулярная AB.
• Тогда, если A, K, C лежат так, что K — основание высоты, то угол при К, образованный высотой и линией АК, равен 90°, и, конечно, угол АКC равен 90°.
• Это утверждение, скорее всего, верно.

6. уголBNC=90

• N — точка деления биссектрисы угла B.
• Внутри треугольника, точка N — не обязательно образует прямой угол с B и C.
• Нет никакой гарантии, что угол BNC равен 90°.
• Обычно, N делит сторону, и угол BNC не равен 90°.
• Это утверждение неверное.

Итог:

• Утверждения 1) BM=CM — верно.
• Утверждения 2) AN=CN — неверно.
• Утверждения 3) уголBAM=уголCAM — неверно.
• Утверждения 4) уголABN=уголCBN — верно.
• Утверждение 5) уголAKC=90 — верно.
• Утверждение 6) уголBNC=90 — неверно.

Ответ:

Верные утверждения: 1, 4, 5.