В треугольнике abc проведена медиана am биссектриса bn и высота ck. Укажите номера верных утверждений 1) BM=CM 2) AN=CN 3) уголBAM=уголCAM 4) уголABN=уголCBN 5) уголAKC=90 6) уголBNC=90

Давайте разберёмся с этим заданием подробно. **Дано:** - В треугольнике ABC проведены: - медиана AM, то есть линия от вершины A к середине стороны BC, обозначим её M. - биссектриса BN, то есть линия, делящая угол B пополам, с точкой N. - высота CK, проведённая из вершины C к основанию AB, точка пересечения с AB обозначена как K. Нужно определить, какие из приведённых утверждений являются верными. --- ### Анализ утверждений: 1) **BM = CM** - M — середина BC (по определению медианы). - В треугольнике BCM, поскольку M — середина BC, при проведении медианы BM, точка M делит сторону BC пополам. - В треугольнике BC, со средней линией, равны только стороны, если есть равенство или специальные условия, но здесь важно, что M — середина BC, значит, BM и CM — равно по абсолютной длине (так как M — середина). - **Следовательно, BM = CM.** - **Это утверждение верно.** --- 2) **AN = CN** - N — точка пересечения биссектрисы угла B. - Внутри треугольника, биссектриса делит противоположную сторону в отношении longer: \[ \frac{AN}{NC} = \frac{ AB }{ BC } \]. - В общем случае, **AN ≠ CN.** - Это не означает равенство, а делит сторону в пропорции сторон треугольника. - **Значит, утверждение ложное.** --- 3) **уголBAM = уголCAM** - В треугольнике ABC, точки M — середина BC. - Углы BAM и CAM — это углы, при вершине A, между линиями AМ и AС. - Так как М — середина BC, не видно, что эти углы равны, без дополнительных условий. - Также, в этом случае, обе стороны — это стороны треугольника, и свои соответствующие углы. - В общем случае, **углы BAM и CAM не обязательно равны**. - Следовательно, утверждение ложно. --- 4) **уголABN = уголCBN** - N — точка пересечения биссектрисы угла B. - Углы ANB и CNB — это углы, прилежащие к биссектрисе. - Внутри треугольника, биссектриса делит угол B на две равные части: \[ \angle ABN = \angle CBN \], потому что N — точка деления биссектрисы, делящая угол B на равные части. - **Это утверждение верно.** --- 5) **уголAKC=90** - K — точка, где высота из C перпендикулярна AB. - Таким образом, угол AKC — это угол между высотой CK и линией, проходящей через K и A. - Высота CK перпендикулярна AB, значит, угол АКC, который образуется треугольниками, скорее всего, равен 90°, если мы рассматриваем, что A, K, C расположены так, что угол при K (в точке K) — угол в 90°. - Дано: **CK — высота**, значит, угол при K между CK и AB — 90°, и A — одна из точек, где высота строится. - Но угол АКC — это угол между линией A K и линией C K? - В таком случае, скорее, это **угол при K между AK и KC**, где KC — высота, перпендикулярная AB. - Тогда, если A, K, C лежат так, что K — основание высоты, то угол при К, образованный высотой и линией АК, равен 90°, и, конечно, угол АКC равен 90°. - **Это утверждение, скорее всего, верно.** --- 6) **уголBNC=90** - N — точка деления биссектрисы угла B. - Внутри треугольника, точка N — не обязательно образует прямой угол с B и C. - Нет никакой гарантии, что угол BNC равен 90°. - Обычно, N делит сторону, и угол BNC не равен 90°. - **Это утверждение неверное.** --- ### Итог: - Утверждения **1) BM=CM** — **верно**. - Утверждения **2) AN=CN** — **неверно**. - Утверждения **3) уголBAM=уголCAM** — **неверно**. - Утверждения **4) уголABN=уголCBN** — **верно**. - Утверждение **5) уголAKC=90** — **верно**. - Утверждение **6) уголBNC=90** — **неверно**. --- ### Ответ: **Верные утверждения: 1, 4, 5.**