дана прямоугольная трапеция ABCD ( угол A B=90) в которуню вписана окружность радиусом 7 см. Сторона CD равна 18 см. Найти среднюю линию трапеции
Давайте разберемся с заданием шаг за шагом.
Дано:
- Трапеция \(ABCD\), прямоугольная с углом \(A B = 90^\circ\).
- Вписана окружность радиусом \(r = 7\,см\).
- Длина стороны \(CD = 18\,см\).
Требуется найти среднюю линию трапеции.
Шаг 1: Визуализация и определение положения трапеции
Так как \(ABCD\) — прямоугольная трапеция с углом \(A B = 90^\circ\), предположим:
- \(A\) — в левом верхнем углу,
- \(B\) — в правом верхнем углу,
- \(C\) — в правом нижнем углу,
- \(D\) — в левом нижнем углу.
Вписанная окружность означает, что трапеция — это трапеция с равными сумму боковых сторон и оснований: сумма катетов тетраэдра равна внутреннему периметру.
Обозначим:
- \(AB = h\) — высота трапеции,
- \(AD = a\),
- \(BC = b\).
P.s.: Вписанная окружность касается всех сторон, так что сумма длин основания и верхнего основания равна сумме боковых.
Шаг 2: Свойства вписанной окружности трапеции
Обозначим:
- \(AB = h\) (высота),
- так как угол \(A B = 90^\circ\), в трапеции — \(AB\) — перпендикуляр к основаниям.
Так как окружность вписана, то сумма противолежащих сторон равна:
\[ AD + BC = AB + CD \]
Но так как \(AB = h\) — высота, это не будет напрямую равно сумме оснований, поэтому лучше рассмотреть свойства вписанного круга и соотношения сторон.
Шаг 3: Использование свойства о касаниях окружности
Приписанная окружность касаются всех четырех сторон, и радиус равен 7 см.
Обозначим точки касания:
- \(E\) — точка касания с основанием \(CD\),
- \(F\) — с боковой сторон \(AD\),
- \(G\) — с боковой сторон \(BC\),
- \(H\) — с основанием \(AB\).
Радиус окружности равен 7 см. Расстояние от центра окружности до каждой стороны равно радиусу.
Шаг 4: Расположение и вычисление
Обозначим:
- \(AB = h\),
- \(CD = 18\,см\).
Так как \(AB\) — горизонтальная сторона (и перпендикуляр к боковым сторонам из-за прямого угла), то высота трапеции равна длине \(AB\).
Из условия с радиусом и свойствами вписанной окружности:
\[ \text{Полуразность оснований} = \text{расстояние между основаниями} \]
Но в данном случае, поскольку трапеция — с прямым углом, и окружность вписана, расстояние между основаниями равно \(2r=14\) см.
Шаг 5: Построение и вычисление средней линии
Средняя линия трапеции — это параллельная линия, проведенная посередине между основанием \(CD\) и основанием \(AB\):
\[ M = \frac{AB + CD}{2} \]
Нам нужно найти \(AB\).
Шаг 6: Нахождение \(AB\)
Опираясь на свойства трапеции с вписанной окружностью и известной стороне \(CD=18\), радиус окружности — 7 см, то есть расстояние от центра окружности до каждой стороны равно 7 см.
Так как окружность касается треугольных и прямоугольных фигур, попробуем найти \(AB\) через свойства касания.
Поскольку радиус окружности равен 7 см, и окружность касается оснований \(AB\) и \(CD\), то:
\[ \text{Высота} = h = AB \]
и расстояние от центра окружности до основания \(AB\):
\[ d_{AB} = h - r \]
и до основания \(CD\):
\[ d_{CD} = \text{расстояние между центром и основанием} = r \]
Обозначим центр окружности — \(O\). Тогда:
\[ O_x \] – горизонтальная координата, \(O_y\) — вертикальная.
Из свойств касания, длины сторон и радиуса, следует, что половина суммы оснований равна:
\[ \frac{AB + CD}{2} \]
Итоговое решение:
Из вышеизложенного и используя свойства трапеции с вписанной окружностью, \(AB\) и \(CD\) связаны через радиус.
Если \(CD = 18\), то:
- Средняя линия: \(\displaystyle m = \frac{AB + CD}{2}\).
Поскольку радиус окружности равен 7 см, и она вписана, то высота \(AB\) равна:
\[ h = AB \]
и радиус равен разнице между высотой и расстоянием до основания, то есть
\[ h = 2 \times r = 14\,см \]
подставляем в формулу среднего:
\[ \boxed{ m= \frac{h + 18}{2} = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16\, \text{см} } \]
Ответ:
Средняя линия трапеции равна 16 см.
Если потребуется дополнительное объяснение или уточнение — обращайтесь!
