Дана прямоугольная трапеция ABCD ( угол A B=90) в которуню вписана окружность радиусом 7 см. Сторона CD равна 18 см. Найти среднюю линию трапеции

Давайте разберемся с заданием шаг за шагом. **Дано:** - Трапеция \(ABCD\), прямоугольная с углом \(A B = 90^\circ\). - Вписана окружность радиусом \(r = 7\,см\). - Длина стороны \(CD = 18\,см\). Требуется найти среднюю линию трапеции. --- ### Шаг 1: Визуализация и определение положения трапеции - Так как \(ABCD\) — прямоугольная трапеция с углом \(A B = 90^\circ\), предположим: - \(A\) — в левом верхнем углу, - \(B\) — в правом верхнем углу, - \(C\) — в правом нижнем углу, - \(D\) — в левом нижнем углу. - Вписанная окружность означает, что трапеция — это трапеция с равными сумму боковых сторон и оснований: сумма катетов тетраэдра равна внутреннему периметру. Обозначим: - \(AB = h\) — высота трапеции, - \(AD = a\), - \(BC = b\). P.s.: Вписанная окружность касается всех сторон, так что сумма длин основания и верхнего основания равна сумме боковых. --- ### Шаг 2: Свойства вписанной окружности трапеции Обозначим: - \(AB = h\) (высота), - так как угол \(A B = 90^\circ\), в трапеции — \(AB\) — перпендикуляр к основаниям. Так как окружность вписана, то сумма противолежащих сторон равна: \[ AD + BC = AB + CD \] Но так как \(AB = h\) — высота, это не будет напрямую равно сумме оснований, поэтому лучше рассмотреть свойства вписанного круга и соотношения сторон. --- ### Шаг 3: Использование свойства о касаниях окружности Приписанная окружность касаются всех четырех сторон, и радиус равен 7 см. Обозначим точки касания: - \(E\) — точка касания с основанием \(CD\), - \(F\) — с боковой сторон \(AD\), - \(G\) — с боковой сторон \(BC\), - \(H\) — с основанием \(AB\). Радиус окружности равен 7 см. Расстояние от центра окружности до каждой стороны равно радиусу. --- ### Шаг 4: Расположение и вычисление Обозначим: - \(AB = h\), - \(CD = 18\,см\). Так как \(AB\) — горизонтальная сторона (и перпендикуляр к боковым сторонам из-за прямого угла), то высота трапеции равна длине \(AB\). Из условия с радиусом и свойствами вписанной окружности: \[ \text{Полуразность оснований} = \text{расстояние между основаниями} \] Но в данном случае, поскольку трапеция — с прямым углом, и окружность вписана, расстояние между основаниями равно \(2r=14\) см. --- ### Шаг 5: Построение и вычисление средней линии Средняя линия трапеции — это параллельная линия, проведенная посередине между основанием \(CD\) и основанием \(AB\): \[ M = \frac{AB + CD}{2} \] Нам нужно найти \(AB\). --- ### Шаг 6: Нахождение \(AB\) Опираясь на свойства трапеции с вписанной окружностью и известной стороне \(CD=18\), радиус окружности — 7 см, то есть расстояние от центра окружности до каждой стороны равно 7 см. Так как окружность касается треугольных и прямоугольных фигур, попробуем найти \(AB\) через свойства касания. Поскольку радиус окружности равен 7 см, и окружность касается оснований \(AB\) и \(CD\), то: \[ \text{Высота} = h = AB \] и расстояние от центра окружности до основания \(AB\): \[ d_{AB} = h - r \] и до основания \(CD\): \[ d_{CD} = \text{расстояние между центром и основанием} = r \] Обозначим центр окружности — \(O\). Тогда: \[ O_x \] – горизонтальная координата, \(O_y\) — вертикальная. Из свойств касания, длины сторон и радиуса, следует, что половина суммы оснований равна: \[ \frac{AB + CD}{2} \] --- ### Итоговое решение: Из вышеизложенного и используя свойства трапеции с вписанной окружностью, \(AB\) и \(CD\) связаны через радиус. Если \(CD = 18\), то: - Средняя линия: \(\displaystyle m = \frac{AB + CD}{2}\). Поскольку радиус окружности равен 7 см, и она вписана, то высота \(AB\) равна: \[ h = AB \] и радиус равен разнице между высотой и расстоянием до основания, то есть \[ h = 2 \times r = 14\,см \] подставляем в формулу среднего: \[ \boxed{ m= \frac{h + 18}{2} = \frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16\, \text{см} } \] --- ### **Ответ:** **Средняя линия трапеции равна 16 см.** --- Если потребуется дополнительное объяснение или уточнение — обращайтесь!