Реши
Конечно, давайте разберём каждое задание по порядку и подробно, чтобы всё было понятно.
Задача 1. Упростите выражение \( 2(2x + 3y) - (x + y) \)
Шаг 1. Раскроем скобки с помощью распределительного свойства:
\[ 2(2x + 3y) = 2 \times 2x + 2 \times 3y = 4x + 6y \]
\[ -(x + y) = -x - y \]
Шаг 2. Объединим полученные выражения:
\[ 4x + 6y - x - y \]
Шаг 3. Сгруппируем подобные члены:
\[ (4x - x) + (6y - y) = 3x + 5y \]
Ответ:
\[
\boxed{3x + 5y}
\]
Задача 2. Решите систему уравнений методом сложения:
\[ \begin{cases} 4x - y = 9 \\ 3x + 7y = -1 \end{cases} \]
Шаг 1. Умнножим первое уравнение так, чтобы коэффициент при \( y \) стал равен по абсолютной величине коэффициенту во втором уравнении.
Обратимся к уравнению \(\text{1}\): умножим на 7:
\[ 7(4x - y) = 7 \times 9 \implies 28x - 7y = 63 \]
Теперь у нас есть:
\[ \begin{cases} 28x - 7y = 63 \\ 3x + 7y = -1 \end{cases} \]
Шаг 2. Складываем два уравнения:
\[ (28x + 3x) + (-7y + 7y) = 63 + (-1) \]
\[ 31x + 0 = 62 \]
Шаг 3. Найдём \( x \):
\[ 31x = 62 \implies x = \frac{62}{31} = 2 \]
Шаг 4. Подставим \( x=2 \) в одно из исходных уравнений, например, в первое:
\[ 4(2) - y = 9 \implies 8 - y = 9 \implies y = 8 - 9 = -1 \]
Ответ:
\[
\boxed{x=2, \quad y=-1}
\]
Задача 3. Построить график функции \( y=2x+2 \). Проходит ли график через точку \( A(-10, -18) \)?
Шаг 1. Проверим, удовлетворяет ли точка \( A \) уравнению функции:
\[ \text{Подставим } x = -10 \]
\[ y = 2(-10) + 2 = -20 + 2 = -18 \]
Шаг 2. Значение \( y \) совпадает с координатой точки \( A \), то есть:
\[ -18 = -18 \]
Вывод:
Да, график функции проходит через точку \( A(-10, -18) \).
Задача 4. Разложите на множители:
а) \( 2a^3x^3 - 2a^3x^2 - 10a^2x \)
Шаг 1. Вынесем общий множитель:
Заметим, что общий множитель — это \( 2a^2 x \). Разложим по шагам:
\[ 2a^2 x (a x - a - 5) \]
Пояснение:
- \( 2a^3x^3 = 2a^2 x \times a x \)
- \( 2a^3 x^2 = 2a^2 x \times a \)
- \( 10a^2x = 2a^2 x \times 5 \)
Ответ:
\[
\boxed{2a^2 x (a x - a - 5)}
\]
Задача 5. Расстояние между точками \( A \) и \( B \) равно 17 км. За 0,5 часа пешоход вышел из \( A \) навстречу \( B \). Второй пешеход вышел из \( B \) после 1,5 часа и встретился с первым.
Нужно найти скорости каждого пешехода, если известно, что первый идёт на 2 км/ч медленнее второго.
Обозначения:
- \( v_1 \) — скорость первого пешехода (км/ч)
- \( v_2 \) — скорость второго пешехода (км/ч)
Шаг 1. Распишем пути:
Первый пешеход (от \( A \)) вышел вначале и за 0,5 часа прошёл:
\[ \text{расстояние первого} = v_1 \times 0,5 \]
Шаг 2. Остаток пути по расстоянию между ними:
Путь до встречи для первого пешехода: \( v_1 t \)
Для второго — \( v_2 (t - 1,5) \), так как он вышел через 1,5 часа и встретились.
Значит, сумма путей равна расстоянию между \( A \) и \( B \):
\[ v_1 \times 0,5 + v_1 t + v_2 (t - 1,5) = 17 \]
Но встреча происходит через \( t \) часов с момента выхода второго пешехода, и \( t \) равен времени, затраченному обоими пешеходами.
Шаг 3. Определим скорости:
Из условия \( v_1 = v_2 - 2 \).
Пути пешеходов можно выразить через скорости и время — для первого:
\[ \text{Путь первого} = v_1 \cdot t_{встречи} \]
Для второго:
\[ \text{Путь второго} = v_2 \times (t_{встречи} - 1,5) \]
Общий путь между точками — сумма двух путей:
\[ v_1 \times t_{встречи} + v_2 \times (t_{встречи} - 1,5) = 17 - \text{расстояние, прошедшее первый за 0,5 часа} \]
Но этот метод усложнён. Попробуем другой, более прямой.
Упрощение решения
1. За 0,5 часа первый прошёл \( 0,5 v_1 \) км.
Он продолжил идти весь путь столько, что сумма их путей равна 17 км.
2. Обозначим \( T \) — время, через которое они встретятся с момента выхода второго пешехода (от \( B \)).
Тогда, за \( T \) часов второй прошёл:
\[ v_2 \times T \]
Путь первого за этот же \( T \) часов — его общий пробег, начиная с момента выхода.
Первый стартовал за 0,5 часа, следовательно, за \( T \) часов он прошёл:
\[ v_1 \times (T + 0,5) \]
Общая сумма их путей равна 17 км:
\[ v_1 (T + 0,5) + v_2 T = 17 \]
Также дано, что \( v_1 = v_2 - 2 \).
3. Подставим в уравнение \( v_1 = v_2 - 2 \):
\[ (v_2 - 2)(T + 0,5) + v_2 T = 17 \]
Раскроем скобки:
\[ v_2 (T + 0,5) - 2(T + 0,5) + v_2 T = 17 \]
\[ v_2 T + 0,5 v_2 - 2T - 1 + v_2 T = 17 \]
Объединим подобные:
\[ ( v_2 T + v_2 T ) + 0,5 v_2 - 2T - 1 = 17 \]
\[ 2 v_2 T + 0,5 v_2 - 2T = 18 \]
Решение уравнения
Перепишем:
\[ 2 v_2 T - 2 T + 0,5 v_2 = 18 \]
Выделим \( T \):
[ (2 v_2 - 2) T + 0,
