7log9(x²-x-6)=8+log9((x+2)^7/(x-3)

Давайте последовательно решим данное уравнение:

\[ 7 \log_9 (x^2 - x - 6) = 8 + \log_9 \left( \frac{(x+2)^7}{x-3} \right) \]

Шаг 1: Упростить логарифмы

Обозначим для удобства:

• \(\log_9 (x^2 - x - 6)\) — первый логарифм с множителем 7
• \(\log_9 \left( \frac{(x+2)^7}{x-3} \right)\) — второй логарифм

Перепишем уравнение:

\[ 7 \log_9 (x^2 - x - 6) = 8 + \log_9 \left( \frac{(x+2)^7}{x-3} \right) \]

Шаг 2: Использовать свойства логарифмов

Заметим, что:

• \(7 \log_9 (x^2 - x - 6) = \log_9 (x^2 - x - 6)^7\)

Теперь уравнение принимает вид:

\[ \log_9 {(x^2 - x - 6)^7} = 8 + \log_9 \left( \frac{(x+2)^7}{x-3} \right) \]

При этом, по свойству логарифмов:

\[ a + \log_b c = \log_b (b^a c) \]

Но в данном случае, проще перенести логарифмы в левую сторону:

\[ \log_9 (x^2 - x - 6)^7 - \log_9 \left( \frac{(x+2)^7}{x-3} \right) = 8 \]

Используем свойство разности логарифмов:

\[ \log_9 \left( \frac{(x^2 - x - 6)^7}{\frac{(x+2)^7}{x-3}} \right) = 8 \]

Перепишем внутри логарифма:

\[ \log_9 \left( \frac{(x^2 - x - 6)^7 \cdot (x-3)}{(x+2)^7} \right) = 8 \]

Шаг 3: Образовать уравнение без логарифма

Из свойства:

\[ \log_9 A = 8 \implies A = 9^8 \]

Значит:

\[ \frac{(x^2 - x - 6)^7 \cdot (x-3)}{(x+2)^7} = 9^8 \]

Шаг 4: Упростить выражение

Обратим внимание, что \((x^2 - x - 6)\) — для выражения в скобках — можно разложить на множители:

\[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \]

Подставим:

\[ \frac{[(x - 3)(x + 2)]^7 \cdot (x - 3)}{(x + 2)^7} = 9^8 \]

Раскроем степень:

\[ \frac{(x - 3)^7 (x + 2)^7 \cdot (x - 3)}{(x + 2)^7} = 9^8 \]

В числителе есть \( (x - 3)^7 \cdot (x - 3) = (x - 3)^8 \)

А В знаменателе — \((x + 2)^7\)

То есть получаем:

\[ \frac{(x - 3)^8 \cdot (x + 2)^7}{(x + 2)^7} = 9^8 \]

Сократим \((x + 2)^7\):

\[ (x - 3)^8 = 9^8 \]

Шаг 5: Решить полученное уравнение

\[ (x - 3)^8 = 9^8 \]

Восьмичная степень дает два решения:

\[ x - 3 = 9 \quad \text{или} \quad x - 3 = -9 \]

Потому что \(a^8 = b^8 \Rightarrow a = b \text{ или } a = -b\)

Найдем \(x\):

1. \(x - 3 = 9 \Rightarrow x = 12\)
2. \(x - 3 = -9 \Rightarrow x = -6\)

Шаг 6: Проверка условий допустимости

Логарифмы требуют, чтобы аргументы были положительными:

• \(x^2 - x - 6 > 0\), так как это аргумент первого логарифма
• Также, чтобы исходное выражение было определено.

Рассмотрим каждый корень:

• \(x=12\):

Подставляем в аргументы:

\[ x^2 - x - 6 = 144 - 12 - 6 = 126 > 0 \]

И аргумент второго логарифма:

\[ x + 2 = 14 > 0 \] \[ x - 3 = 9 > 0 \]

Все аргументы положительны, условие выполнено. Значит, \(x=12\) подходит.

• \(x=-6\):

Проверим аргументы:

\[ (-6)^2 - (-6) - 6 = 36 + 6 - 6 = 36 > 0 \]

\[ x + 2 = -6 + 2 = -4 < 0 \]

Аргумент \(\log_9 (x+2)\) не может быть отрицательным, поэтому \(x = -6\) не подходит.

Ответ:

\[ \boxed{ x = 12 } \]

Это единственное допустимое решение уравнения.