7log9(x²-x-6)=8+log9((x+2)^7/(x-3)

Давайте последовательно решим данное уравнение: \[ 7 \log_9 (x^2 - x - 6) = 8 + \log_9 \left( \frac{(x+2)^7}{x-3} \right) \] **Шаг 1: Упростить логарифмы** Обозначим для удобства: - \(\log_9 (x^2 - x - 6)\) — первый логарифм с множителем 7 - \(\log_9 \left( \frac{(x+2)^7}{x-3} \right)\) — второй логарифм Перепишем уравнение: \[ 7 \log_9 (x^2 - x - 6) = 8 + \log_9 \left( \frac{(x+2)^7}{x-3} \right) \] **Шаг 2: Использовать свойства логарифмов** Заметим, что: - \(7 \log_9 (x^2 - x - 6) = \log_9 (x^2 - x - 6)^7\) Теперь уравнение принимает вид: \[ \log_9 {(x^2 - x - 6)^7} = 8 + \log_9 \left( \frac{(x+2)^7}{x-3} \right) \] При этом, по свойству логарифмов: \[ a + \log_b c = \log_b (b^a c) \] Но в данном случае, проще перенести логарифмы в левую сторону: \[ \log_9 (x^2 - x - 6)^7 - \log_9 \left( \frac{(x+2)^7}{x-3} \right) = 8 \] Используем свойство разности логарифмов: \[ \log_9 \left( \frac{(x^2 - x - 6)^7}{\frac{(x+2)^7}{x-3}} \right) = 8 \] Перепишем внутри логарифма: \[ \log_9 \left( \frac{(x^2 - x - 6)^7 \cdot (x-3)}{(x+2)^7} \right) = 8 \] **Шаг 3: Образовать уравнение без логарифма** Из свойства: \[ \log_9 A = 8 \implies A = 9^8 \] Значит: \[ \frac{(x^2 - x - 6)^7 \cdot (x-3)}{(x+2)^7} = 9^8 \] **Шаг 4: Упростить выражение** Обратим внимание, что \((x^2 - x - 6)\) — для выражения в скобках — можно разложить на множители: \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \] Подставим: \[ \frac{[(x - 3)(x + 2)]^7 \cdot (x - 3)}{(x + 2)^7} = 9^8 \] Раскроем степень: \[ \frac{(x - 3)^7 (x + 2)^7 \cdot (x - 3)}{(x + 2)^7} = 9^8 \] В числителе есть \( (x - 3)^7 \cdot (x - 3) = (x - 3)^8 \) А В знаменателе — \((x + 2)^7\) То есть получаем: \[ \frac{(x - 3)^8 \cdot (x + 2)^7}{(x + 2)^7} = 9^8 \] Сократим \((x + 2)^7\): \[ (x - 3)^8 = 9^8 \] **Шаг 5: Решить полученное уравнение** \[ (x - 3)^8 = 9^8 \] Восьмичная степень дает два решения: \[ x - 3 = 9 \quad \text{или} \quad x - 3 = -9 \] Потому что \(a^8 = b^8 \Rightarrow a = b \text{ или } a = -b\) Найдем \(x\): 1. \(x - 3 = 9 \Rightarrow x = 12\) 2. \(x - 3 = -9 \Rightarrow x = -6\) **Шаг 6: Проверка условий допустимости** Логарифмы требуют, чтобы аргументы были положительными: - \(x^2 - x - 6 > 0\), так как это аргумент первого логарифма - Также, чтобы исходное выражение было определено. Рассмотрим каждый корень: - \(x=12\): Подставляем в аргументы: \[ x^2 - x - 6 = 144 - 12 - 6 = 126 > 0 \] И аргумент второго логарифма: \[ x + 2 = 14 > 0 \] \[ x - 3 = 9 > 0 \] Все аргументы положительны, условие выполнено. Значит, \(x=12\) подходит. - \(x=-6\): Проверим аргументы: \[ (-6)^2 - (-6) - 6 = 36 + 6 - 6 = 36 > 0 \] \[ x + 2 = -6 + 2 = -4 < 0 \] Аргумент \(\log_9 (x+2)\) не может быть отрицательным, поэтому \(x = -6\) не подходит. **Ответ:** \[ \boxed{ x = 12 } \] Это единственное допустимое решение уравнения.