Дана прямоугольной трапеции ABCD угол а = углу b = 90°, в которую вписана окружность радиусом 7 см сторона CD равна 18 см найти среднюю линию трапеции.
Давайте подробно разберем задачу по шагам с объяснениями.
Дано:
- Трапеция \(ABCD\), где \( \angle A = \angle B = 90^\circ \) — то есть трапеция прямоугольная.
- Вписана окружность радиусом \(r = 7\) см.
- сторона \(CD = 18\) см.
- Нужно найти среднюю линию трапеции.
Шаг 1. Что такое средняя линия трапеции?
Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон \(AB\) и \(DC\). Она равна половине суммы оснований:
\[ \text{Средняя линия} = \frac{AB + DC}{2} \]
Нам нужно найти \(AB\).
Шаг 2. Понимание формы трапеции
Так как \(\angle A = \angle B = 90^\circ\), то \(AB\) и \(DC\) — это основание и верхнее или нижнее основание (зависит от расположения).
Возможна ситуация, что одна сторона параллельна другой, а углы — прямые. Тогда сторона \(AB\) — это высота и, скорее всего, \(AB\) — вертикальная или горизонтальная сторона?
Поскольку в условии не указано явно, предполагаем, что стороны \(AB\) и \(DC\) — основания, а \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны.
Шаг 3. Расположение трапеции
- Так как \(\angle A = \angle B = 90^\circ\), то верхнее основание \(AB\) перпендикулярно боковым сторонам.
- Аналогично, основания параллельны.
Шаг 4. Свойства вписанной окружности
Вписанная окружность касается всех сторон трапеции. Вписанная окружность существует только у трапеции, у которой сумма длин противоположных сторон равна:
\[ AB + DC = AD + BC \]
Но поскольку \(AB\) и \(DC\) — основания, а высота равна перпендикуляру между ними, то у нас есть:
\[ AB + DC = AD + BC \]
Шаг 5. Вписанная окружность и радиус
Рассмотрим свойства окружности:
- Окружность касается сторон \(AB, BC, CD, DA\).
- Радиус \(r=7\) см — это радиус вписанной окружности.
Известно, что радиус вписанной окружности у трапеции связан с её полупериметром \(p\), высотой \(h\) и расположением сторон.
Шаг 6. Определим высоту \(h\)
Так как \( \angle A = \angle B = 90^{\circ} \), то \(AB\) и \(DC\) — это параллельные линии, а высота \(h\) — это расстояние между ними.
Для обращения к формуле радиуса вписанной окружности для трапеции:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где:
- \( S \) — площадь трапеции.
- \( p \) — полупериметр трапеции:
\[ p = \frac{AB + BC + CD + DA}{2} \]
Шаг 7. Определение сторон \(AD\) и \(BC\)
Поскольку углы \(\angle A\) и \(\angle B\) прямые:
- \(AB\) — горизонталь, \(AD\) — вертикаль.
- Аналогично, для \(BC\).
К тому же, поскольку окружность вписана, — важное свойство:
\[ AB + CD = AD + BC \]
Обозначим:
- \(AB = x\)
- \(AD = y\)
Тогда,
\[ x + 18 = 2y \] \[ \Rightarrow y = \frac{x + 18}{2} \]
Шаг 8. Дополним вычислениями
Площадь \(S\):
\[ S = \text{основание} \times \text{высота} = \frac{(AB + DC)}{2} \times h \]
Но поскольку \(AB \perp AD\), то высота \(h\) равна длине \(AD = y\).
Следовательно,
\[ S = \frac{x + 18}{2} \times y \]
Подставим \(y = \frac{x + 18}{2}\):
\[ S = \frac{x + 18}{2} \times \frac{x + 18}{2} = \left(\frac{x + 18}{2}\right)^2 \]
То есть,
\[ S = \frac{(x + 18)^2}{4} \]
Шаг 9. Найдём полупериметр \(p\)
Обозначим стороны:
- Верхнее основание: \(AB = x\)
- Нижнее основание: \(DC = 18\)
- Боковые стороны: \(AD = BC = y = \frac{x + 18}{2}\)
Тогда:
\[ p = \frac{x + 18 + 2y}{2} \]
Подставим \(y = \frac{x + 18}{2}\):
\[ p = \frac{x + 18 + 2 \times \frac{x + 18}{2}}{2} = \frac{x + 18 + (x + 18)}{2} = \frac{2x + 36}{2} = x + 18 \]
Шаг 10. Используем радиус вписанной окружности
Напомним, что:
\[ r = \frac{S}{p} \]
Подставим известные значения:
\[ 7 = \frac{\frac{(x + 18)^2}{4}}{x + 18} \]
Упростим:
\[ 7 = \frac{(x + 18)^2}{4(x + 18)} \]
\[ 7 = \frac{x + 18}{4} \]
Тогда:
\[ x + 18 = 28 \] \[ x = 10 \]
Шаг 11. Находим остальные стороны
\[ AB = x = 10 \text{ см} \] \[ AD = y = \frac{x + 18}{2} = \frac{10 + 18}{2} = 14 \text{ см} \]
Шаг 12. ИТОГ: нахождение средней линии
Средняя линия:
\[ \frac{AB + DC}{2} = \frac{10 + 18}{2} = \frac{28}{2} = 14 \text{ см} \]
Ответ:
Средняя линия трапеции равна 14 см.
