Дана прямоугольной трапеции ABCD угол а = углу b = 90°, в которую вписана окружность радиусом 7 см сторона CD равна 18 см найти среднюю линию трапеции.

Давайте подробно разберем задачу по шагам с объяснениями. --- ### Дано: - Трапеция \(ABCD\), где \( \angle A = \angle B = 90^\circ \) — то есть трапеция прямоугольная. - Вписана окружность радиусом \(r = 7\) см. - сторона \(CD = 18\) см. - Нужно найти среднюю линию трапеции. --- ### Шаг 1. Что такое средняя линия трапеции? Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон \(AB\) и \(DC\). Она равна половине суммы оснований: \[ \text{Средняя линия} = \frac{AB + DC}{2} \] Нам нужно найти \(AB\). --- ### Шаг 2. Понимание формы трапеции - Так как \(\angle A = \angle B = 90^\circ\), то \(AB\) и \(DC\) — это основание и верхнее или нижнее основание (зависит от расположения). - Возможна ситуация, что одна сторона параллельна другой, а углы — прямые. Тогда сторона \(AB\) — это высота и, скорее всего, \(AB\) — вертикальная или горизонтальная сторона? Поскольку в условии не указано явно, предполагаем, что стороны \(AB\) и \(DC\) — основания, а \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны. --- ### Шаг 3. Расположение трапеции - Так как \(\angle A = \angle B = 90^\circ\), то верхнее основание \(AB\) перпендикулярно боковым сторонам. - Аналогично, основания параллельны. --- ### Шаг 4. Свойства вписанной окружности Вписанная окружность касается всех сторон трапеции. Вписанная окружность существует только у трапеции, у которой сумма длин противоположных сторон равна: \[ AB + DC = AD + BC \] Но поскольку \(AB\) и \(DC\) — основания, а высота равна перпендикуляру между ними, то у нас есть: \[ AB + DC = AD + BC \] --- ### Шаг 5. Вписанная окружность и радиус Рассмотрим свойства окружности: - Окружность касается сторон \(AB, BC, CD, DA\). - Радиус \(r=7\) см — это радиус вписанной окружности. Известно, что радиус вписанной окружности у трапеции связан с её полупериметром \(p\), высотой \(h\) и расположением сторон. ### Шаг 6. Определим высоту \(h\) Так как \( \angle A = \angle B = 90^{\circ} \), то \(AB\) и \(DC\) — это параллельные линии, а высота \(h\) — это расстояние между ними. Для обращения к формуле радиуса вписанной окружности для трапеции: \[ r = \frac{S}{p} \] где: - \( S \) — площадь трапеции. - \( p \) — полупериметр трапеции: \[ p = \frac{AB + BC + CD + DA}{2} \] --- ### Шаг 7. Определение сторон \(AD\) и \(BC\) Поскольку углы \(\angle A\) и \(\angle B\) прямые: - \(AB\) — горизонталь, \(AD\) — вертикаль. - Аналогично, для \(BC\). К тому же, поскольку окружность вписана, — важное свойство: \[ AB + CD = AD + BC \] Обозначим: - \(AB = x\) - \(AD = y\) Тогда, \[ x + 18 = 2y \] \[ \Rightarrow y = \frac{x + 18}{2} \] --- ### Шаг 8. Дополним вычислениями Площадь \(S\): \[ S = \text{основание} \times \text{высота} = \frac{(AB + DC)}{2} \times h \] Но поскольку \(AB \perp AD\), то высота \(h\) равна длине \(AD = y\). Следовательно, \[ S = \frac{x + 18}{2} \times y \] Подставим \(y = \frac{x + 18}{2}\): \[ S = \frac{x + 18}{2} \times \frac{x + 18}{2} = \left(\frac{x + 18}{2}\right)^2 \] То есть, \[ S = \frac{(x + 18)^2}{4} \] --- ### Шаг 9. Найдём полупериметр \(p\) Обозначим стороны: - Верхнее основание: \(AB = x\) - Нижнее основание: \(DC = 18\) - Боковые стороны: \(AD = BC = y = \frac{x + 18}{2}\) Тогда: \[ p = \frac{x + 18 + 2y}{2} \] Подставим \(y = \frac{x + 18}{2}\): \[ p = \frac{x + 18 + 2 \times \frac{x + 18}{2}}{2} = \frac{x + 18 + (x + 18)}{2} = \frac{2x + 36}{2} = x + 18 \] --- ### Шаг 10. Используем радиус вписанной окружности Напомним, что: \[ r = \frac{S}{p} \] Подставим известные значения: \[ 7 = \frac{\frac{(x + 18)^2}{4}}{x + 18} \] Упростим: \[ 7 = \frac{(x + 18)^2}{4(x + 18)} \] \[ 7 = \frac{x + 18}{4} \] Тогда: \[ x + 18 = 28 \] \[ x = 10 \] --- ### Шаг 11. Находим остальные стороны \[ AB = x = 10 \text{ см} \] \[ AD = y = \frac{x + 18}{2} = \frac{10 + 18}{2} = 14 \text{ см} \] --- ### Шаг 12. ИТОГ: нахождение средней линии Средняя линия: \[ \frac{AB + DC}{2} = \frac{10 + 18}{2} = \frac{28}{2} = 14 \text{ см} \] --- ## **Ответ:** **Средняя линия трапеции равна 14 см.**