Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найди высоту пирамиды, если стороны оснований пирамиды равны 2 и 11.

Давайте подробно разберем задачу, чтобы понять, как найти высоту правильной усечённой четырёхугольной пирамиды при данных условиях. ### Условие задачи: - Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. - Основания — правильные четыреугольники. - Размер сторон основания: - меньшего основания: 2. - большего основания: 11. - Нужно найти высоту пирамиды \( h \). --- ### Шаг 1: Определение элементов фигуры **Правильная усечённая четырёхугольная пирамида** — это фигура, у которой основание — правильный четырёхугольник, и верхнеё основание тоже правильный четырёхугольник, меньшего размера, посаженный на ножки пирамиды. Обозначим: - Нижнее основание — квадрат со стороной \( a_1 = 11 \). - Верхнее основание — квадрат со стороной \( a_2 = 2 \). - Высота пирамиды — \( h \). --- ### Шаг 2: Что значит наклон бокового ребра под углом 45°? Боковое ребро соединяет вершины верхнего и нижнего основания. Наклонённое ребро образует угол \( 45^\circ \) с плоскостью основания. Это означает, что при взгляде из боковой проекции, горизонтальная часть (проекция бокового ребра) и вертикальная часть (его высота внутри пирамиды) формируют треугольник с углом \( 45^\circ \). --- ### Шаг 3: Связь между горизонтальной проекцией и высотой - Пусть длина бокового ребра — \( s \). - В проекции на горизонтальную плоскость (плоскость основания) горизонтальная часть этого ребра — это расстояние между точками, которые соединяет боковое ребро. Так как угол наклона \( 45^\circ \), то \[ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] и длина бокового ребра в терминах: \[ s = \frac{h}{\cos 45^\circ} = h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Но поскольку нам важно найти **высоту**, связав её с условиями наклона и размерами оснований. --- ### Шаг 4: Расположение и параметры оснований Поскольку фигура — усечённая пирамида, высота соединяет центры двух квадратов (оснований). Центр обоих квадратов лежит на вертикальной оси. Расстояния между центрами оснований по горизонтали: \[ d = \frac{a_1 - a_2}{2} \] т.к. в основании квадраты идут друг над другом, то: \[ d = \frac{11 - 2}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \] Это горизонтальное горизонтальное расстояние между центрами верхнего и нижнего квадратов. --- ### Шаг 5: Связь между наклоном ребра и перпендикуляром Боковое ребро соединяет вершины: - Вершина нижнего основания — \( A \) - Вершина верхнего основания — \( B \) Обозначим: - \( O_{lower} \) — центр нижнего квадрата - \( O_{upper} \) — центр верхнего квадрата Горизонтальное расстояние между центрами: \( d = 4.5 \) Высота пирамиды: \( h \) Боковое ребро соединяет вершины, расположенные на расстоянии \( a_1/2 = 5.5 \) и \( a_2/2 = 1 \) от центра по оси квадрата (по сторонам). Но важнее — это проекция бокового ребра на вертикаль и горизонталь. --- ### Шаг 6: Найдём связь через наклон Рассмотрим треугольник, образованный: - вертикальной высотой \( h \), - горизонтальной проекцией \( d \), - и наклонным ребром \( s \). Угол наклона \( 45^\circ \): \[ \tan 45^\circ = 1 = \frac{\text{протяжённость горизонтальной проекции } l}{h} \] Горизонтальная протяжённость \( l \) — это расстояние между вершинами по горизонтальной плоскости: \[ l = \sqrt{d^2 + \Delta a^2} \] где \( \Delta a \) — разность высот (зависит от размеров оснований). Но так как ребро наклонено под \( 45^\circ \), длина его проекции в горизонтальном плане равна: \[ l = h \] и \[ l = \sqrt{(a_1/2 - a_2/2)^2 + h^2} \] Подставим: \[ a_1/2 - a_2/2 = 5.5 - 1 = 4.5 \] Следовательно, \[ l = \sqrt{(4.5)^2 + h^2} \] Но поскольку наклон \( 45^\circ \), то \[ l = h \] Отсюда: \[ h = \sqrt{(4.5)^2 + h^2} \] Решаем уравнение: \[ h^2 = 4.5^2 + h^2 \] что невозможно, так как оно сокращается. Значит, нужно уточнить — вероятно, \( l \neq h \). --- ### Шаг 7: Правильное решение — применение тригонометрии Рассмотрим треугольник, образованный: - высотой \( h \), - горизонтальной проекцией \( d = 4.5 \), - и наклонным боковым ребром \( s \). Из треугольника с углом \( 45^\circ \): \[ \frac{h}{s} = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Итак, \[ h = s \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Кроме того, горизонтальная проекция этого бокового ребра — это расстояние между вершинами сверху и снизу по горизонтальной плоскости — есть \( d = 4.5 \). Снова, поскольку угол наклона — \( 45^\circ \), то длина ребра связана с высотой и горизонтальным расстоянием: \[ s = \frac{h}{\sin 45^\circ} = h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] --- ### Шаг 8: Итог — выражение высоты Обратимся к наклону бокового ребра: \[ l_{\text{проекция}} = d = 4.5 \] И, по условию, боковое ребро наклонено под \( 45^\circ \). Можно записать: \[ h = d \] так как при наклоне \(45^\circ\): \[ h = d \] Следовательно: \[ \boxed{ h = 4.5 } \] Это — высота пирамиды. --- ### **Ответ:** **Высота пирамиды равна \( \boxed{4.5} \).**