Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найди высоту пирамиды, если стороны оснований пирамиды равны 2 и 11.
Давайте подробно разберем задачу, чтобы понять, как найти высоту правильной усечённой четырёхугольной пирамиды при данных условиях.
Условие задачи:
- Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°.
- Основания — правильные четыреугольники.
- Размер сторон основания:
- меньшего основания: 2.
- большего основания: 11.
- Нужно найти высоту пирамиды \( h \).
Шаг 1: Определение элементов фигуры
Правильная усечённая четырёхугольная пирамида — это фигура, у которой основание — правильный четырёхугольник, и верхнеё основание тоже правильный четырёхугольник, меньшего размера, посаженный на ножки пирамиды.
Обозначим:
- Нижнее основание — квадрат со стороной \( a_1 = 11 \).
- Верхнее основание — квадрат со стороной \( a_2 = 2 \).
- Высота пирамиды — \( h \).
Шаг 2: Что значит наклон бокового ребра под углом 45°?
Боковое ребро соединяет вершины верхнего и нижнего основания. Наклонённое ребро образует угол \( 45^\circ \) с плоскостью основания.
Это означает, что при взгляде из боковой проекции, горизонтальная часть (проекция бокового ребра) и вертикальная часть (его высота внутри пирамиды) формируют треугольник с углом \( 45^\circ \).
Шаг 3: Связь между горизонтальной проекцией и высотой
- Пусть длина бокового ребра — \( s \).
- В проекции на горизонтальную плоскость (плоскость основания) горизонтальная часть этого ребра — это расстояние между точками, которые соединяет боковое ребро.
Так как угол наклона \( 45^\circ \), то
\[ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
и длина бокового ребра в терминах: \[ s = \frac{h}{\cos 45^\circ} = h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Но поскольку нам важно найти высоту, связав её с условиями наклона и размерами оснований.
Шаг 4: Расположение и параметры оснований
Поскольку фигура — усечённая пирамида, высота соединяет центры двух квадратов (оснований). Центр обоих квадратов лежит на вертикальной оси.
Расстояния между центрами оснований по горизонтали:
\[ d = \frac{a_1 - a_2}{2} \]
т.к. в основании квадраты идут друг над другом, то:
\[ d = \frac{11 - 2}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \]
Это горизонтальное горизонтальное расстояние между центрами верхнего и нижнего квадратов.
Шаг 5: Связь между наклоном ребра и перпендикуляром
Боковое ребро соединяет вершины:
- Вершина нижнего основания — \( A \)
- Вершина верхнего основания — \( B \)
Обозначим:
- \( O_{lower} \) — центр нижнего квадрата
- \( O_{upper} \) — центр верхнего квадрата
Горизонтальное расстояние между центрами: \( d = 4.5 \)
Высота пирамиды: \( h \)
Боковое ребро соединяет вершины, расположенные на расстоянии \( a_1/2 = 5.5 \) и \( a_2/2 = 1 \) от центра по оси квадрата (по сторонам). Но важнее — это проекция бокового ребра на вертикаль и горизонталь.
Шаг 6: Найдём связь через наклон
Рассмотрим треугольник, образованный:
- вертикальной высотой \( h \),
- горизонтальной проекцией \( d \),
- и наклонным ребром \( s \).
Угол наклона \( 45^\circ \):
\[ \tan 45^\circ = 1 = \frac{\text{протяжённость горизонтальной проекции } l}{h} \]
Горизонтальная протяжённость \( l \) — это расстояние между вершинами по горизонтальной плоскости:
\[ l = \sqrt{d^2 + \Delta a^2} \]
где \( \Delta a \) — разность высот (зависит от размеров оснований). Но так как ребро наклонено под \( 45^\circ \), длина его проекции в горизонтальном плане равна:
\[ l = h \]
и
\[ l = \sqrt{(a_1/2 - a_2/2)^2 + h^2} \]
Подставим:
\[ a_1/2 - a_2/2 = 5.5 - 1 = 4.5 \]
Следовательно,
\[ l = \sqrt{(4.5)^2 + h^2} \]
Но поскольку наклон \( 45^\circ \), то
\[ l = h \]
Отсюда:
\[ h = \sqrt{(4.5)^2 + h^2} \]
Решаем уравнение:
\[ h^2 = 4.5^2 + h^2 \]
что невозможно, так как оно сокращается. Значит, нужно уточнить — вероятно, \( l \neq h \).
Шаг 7: Правильное решение — применение тригонометрии
Рассмотрим треугольник, образованный:
- высотой \( h \),
- горизонтальной проекцией \( d = 4.5 \),
- и наклонным боковым ребром \( s \).
Из треугольника с углом \( 45^\circ \):
\[ \frac{h}{s} = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Итак,
\[ h = s \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Кроме того, горизонтальная проекция этого бокового ребра — это расстояние между вершинами сверху и снизу по горизонтальной плоскости — есть \( d = 4.5 \).
Снова, поскольку угол наклона — \( 45^\circ \), то длина ребра связана с высотой и горизонтальным расстоянием:
\[ s = \frac{h}{\sin 45^\circ} = h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Шаг 8: Итог — выражение высоты
Обратимся к наклону бокового ребра:
\[ l_{\text{проекция}} = d = 4.5 \]
И, по условию, боковое ребро наклонено под \( 45^\circ \). Можно записать:
\[ h = d \]
так как при наклоне \(45^\circ\):
\[ h = d \]
Следовательно:
\[ \boxed{ h = 4.5 } \]
Это — высота пирамиды.
Ответ:
Высота пирамиды равна \( \boxed{4.5} \).
