Задание для самостоятельной работы: Исследовать функции на монотонность с помощью производной: f(x)=−6x2−16x+9

Конечно! Давайте подробно разберем, как исследовать функцию \( f(x) = -6x^2 - 16x + 9 \) на монотонность с помощью производной. Это задание поможет понять, где функция возрастает, а где убывает.

Шаг 1. Найдем первую производную функции \( f(x) \)

Функция — квадратичная: \( f(x) = -6x^2 - 16x + 9 \).

Производная квадратичной функции \( ax^2 + bx + c \) равна \( f'(x) = 2ax + b \).

Для нашей функции:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-6x^2 - 16x + 9) = -12x - 16 \]

Шаг 2. Исследуем знак производной \( f'(x) \)

Чтобы определить интервалы монотонности, нужно найти, где \( f'(x) \) положительна или отрицательна.

Решим неравенство:

\[ f'(x) = -12x - 16 \] на знак:

\[ -12x - 16 > 0 \] или \[ -12x > 16 \]

Делим обе части на -12 (важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется):

\[ x < -\frac{16}{12} \]

Упростим:

\[ x < -\frac{4}{3} \]

Шаг 3. Интервалы монотонности

• Для \( x < -\frac{4}{3} \) — \( f'(x) > 0 \) ⇒ функция возрастает.
• Для \( x > -\frac{4}{3} \) — \( f'(x) < 0 \) ⇒ функция убывает.

Шаг 4. Вывод

• На интервале \((-\infty, -\frac{4}{3})\) функция возрастает.
• На интервале \((- \frac{4}{3}, +\infty)\) функция убывает.

Итог:

Функция \( f(x) = -6x^2 - 16x + 9 \) возрастает на интервале \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \) и убывает на интервале \( (-\frac{4}{3}, +\infty) \).

Если нужно, я могу помочь с построением графика или найти точку максимум!