Конечно! Давайте подробно разберем, как исследовать функцию ( f(x) = -6x^2 - 16x + 9 ) на монотонность с помощью производной. Это задание поможет понять, где функция возрастает, а где убывает.
Шаг 1. Найдем первую производную функции ( f(x) )
Функция — квадратичная: ( f(x) = -6x^2 - 16x + 9 ).
Производная квадратичной функции ( ax^2 + bx + c ) равна ( f'(x) = 2ax + b ).
Для нашей функции:
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(-6x^2 - 16x + 9) = -12x - 16
]
Шаг 2. Исследуем знак производной ( f'(x) )
Чтобы определить интервалы монотонности, нужно найти, где ( f'(x) ) положительна или отрицательна.
Решим неравенство:
[
f'(x) = -12x - 16
]
на знак:
[
-12x - 16 > 0
]
или
[
-12x > 16
]
Делим обе части на -12 (важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется):
[
x < -\frac{16}{12}
]
Упростим:
[
x < -\frac{4}{3}
]
Шаг 3. Интервалы монотонности
- Для ( x < -\frac{4}{3} ) — ( f'(x) > 0 ) ⇒ функция возрастает.
- Для ( x > -\frac{4}{3} ) — ( f'(x) < 0 ) ⇒ функция убывает.
Шаг 4. Вывод
- На интервале ((-\infty, -\frac{4}{3})) функция возрастает.
- На интервале ((- \frac{4}{3}, +\infty)) функция убывает.
Итог:
Функция ( f(x) = -6x^2 - 16x + 9 ) возрастает на интервале ( (-\infty, -\frac{4}{3}) ) и убывает на интервале ( (-\frac{4}{3}, +\infty) ).
Если нужно, я могу помочь с построением графика или найти точку максимум!
