Двум классам было дано задание собрать по 100кг крыжовника. Второй класс работал на 30 минут дольше первого. Если бы в первом классе было на 5 школьников больше, то время его…
Двум классам было дано задание собрать по 100кг крыжовника. Второй класс работал на 30 минут дольше первого. Если бы в первом классе было на 5 школьников больше, то время его работы сократилось бы на два часа. Найдите число школьников в первом классе, если производительность у всех была одинаковой.
Давайте подробно решим задачу пошагово.
Дано:
- Общее количество крыжовника, которое каждый класс должен собрать: 100 кг.
- Второй класс работал на 30 минут дольше первого.
- Если бы в первом классе было на 5 школьников больше, то время их работы сократилось бы на 2 часа (120 минут).
- Производительность у всех одинаковая (значит, выпуск каждого ученика за единицу времени одинаковый).
Шаг 1. Обозначения и переменные
Обозначим:
\( n_1 \) — число школьников в первом классе.
\( n_2 \) — число школьников во втором классе.
\( t_1 \) — время работы первого класса (в минутах).
\( t_2 \) — время работы второго класса, тогда:
\[ t_2 = t_1 + 30 \]
\( p \) — производительность одного школьника (кг/мин).
Шаг 2. Записываем уравнение для первого класса
Общий собранный объем:
\[ n_1 \times p \times t_1 = 100 \]
Аналогично для второго:
\[ n_2 \times p \times t_2 = 100 \]
Шаг 3. Вспомогательное выражение для второго класса
Подставим \( t_2 = t_1 + 30 \):
\[ n_2 \times p \times (t_1 + 30) = 100 \]
Шаг 4. Связь между количеством школьников и временем для первого класса
Если в первом классе было бы на 5 школьников больше, то время работы уменьшилось бы на 120 минут:
\[ (n_1 + 5) \times p \times (t_1 - 120) = 100 \]
Шаг 5. Получение системы уравнений
Итак, у нас есть два уравнения:
\(\quad n_1 p t_1 = 100 \quad \Rightarrow \quad p = \frac{100}{n_1 t_1} \)
\(\quad n_2 p (t_1 + 30) = 100 \)
Подставим \( p \) из первого в второе:
\[ n_2 \times \frac{100}{n_1 t_1} \times (t_1 + 30) = 100 \]
Упростим:
\[ n_2 \times \frac{100 (t_1 + 30)}{n_1 t_1} = 100 \]
\[ n_2 \times \frac{t_1 + 30}{t_1} = \frac{n_1 t_1}{100} \times 100 = n_1 \]
Или:
\[ n_2 \times \frac{t_1 + 30}{t_1} = n_1 \]
Переобозначим это уравнение:
\[ n_2 = n_1 \times \frac{t_1}{t_1 + 30} \]
Шаг 6. Получение связи через изменение числа школьников
Из условия, при увеличении числа школьников в первом классе на 5 и сокращении времени работы на 120 минут, объем собранного крыжовника остается 100 кг:
\[ (n_1 + 5) p (t_1 - 120) = 100 \]
Используем \( p = \frac{100}{n_1 t_1} \):
\[ (n_1 + 5) \times \frac{100}{n_1 t_1} \times (t_1 - 120) = 100 \]
Упростим:
\[ (n_1 + 5) \times \frac{(t_1 - 120)}{n_1 t_1} \times 100 = 100 \]
Разделим обе стороны на 100:
\[ (n_1 + 5) \times \frac{t_1 - 120}{n_1 t_1} = 1 \]
Перенесем \( n_1 t_1 \) в числитель:
\[ (n_1 + 5) \times (t_1 - 120) = n_1 t_1 \]
Шаг 7. Раскроем скобки и получим квадратное уравнение
Раскроем левую часть:
\[ (n_1 + 5)(t_1 - 120) = n_1 t_1 \]
\[ n_1 t_1 - 120 n_1 + 5 t_1 - 600 = n_1 t_1 \]
Теперь выразим \( n_1 t_1 \) из обеих частей:
\[ n_1 t_1 - 120 n_1 + 5 t_1 - 600 = n_1 t_1 \]
Вычтем \( n_1 t_1 \) из обеих сторон:
\[ - 120 n_1 + 5 t_1 - 600 = 0 \]
Перенесем:
\[ 5 t_1 = 120 n_1 + 600 \]
Выразим \( t_1 \):
\[ t_1 = \frac{120 n_1 + 600}{5} = 24 n_1 + 120 \]
Шаг 8. Возвращаемся к уравнению для \( n_2 \)
Ранее нашли:
\[ n_2 = n_1 \times \frac{t_1}{t_1 + 30} \]
Подставим \( t_1 = 24 n_1 + 120 \):
\[ n_2 = n_1 \times \frac{24 n_1 + 120}{(24 n_1 + 120) + 30} = n_1 \times \frac{24 n_1 + 120}{24 n_1 + 150} \]
Шаг 9. Найти целое решение
Чтобы найти приемлемое целое число \( n_1 \), заметим, что \( t_1 \) — время работы первого класса, оно должно быть положительным и реалистичным.
Поскольку:
\[ t_1 = 24 n_1 + 120 \]
то для минимального \( n_1 \geq 1 \):
\[ t_1 \geq 24 \times 1 + 120 = 144 \text{ минут} \]
Также \( n_2 \) должно быть целым числом. Проверим некоторые значения \( n_1 \):
\[ n_2 = n_1 \times \frac{24 n_1 + 120}{24 n_1 + 150} \]
Например, при \( n_1 = 5 \):
\[ n_2 = 5 \times \frac{24 \times 5 + 120}{24 \times 5 + 150} = 5 \times \frac{120 + 120}{120 + 150} = 5 \times \frac{240}{270} = 5 \times \frac{8}{9} \approx 4.44 \]
не целое — не подходит.
Пробуем \( n_1 = 6 \):
\[ n_2 = 6 \times \frac{24 \times 6 + 120}{24 \times 6 + 150} = 6 \times \frac{144 + 120}{144 + 150} = 6 \times \frac{264}{294} = 6 \times \frac{44}{49} \approx 5.39 \]
не целое.
Пробуем \( n_1 = 10 \):
\[ n_2 = 10 \times \frac{24 \times 10 + 120}{24 \times 10 + 150} = 10 \times \frac{240 + 120}{240 + 150} = 10 \times \frac{360}{390} = 10 \times \frac{36}{39} = 10 \times \frac{12}{13} \approx 9.23 \]
не целое.
Пробуем \( n_1 = 15 \):
\[ n_2 = 15 \times \frac{24 \times 15 + 120}{24 \times 15 + 150} = 15 \times \frac{360 + 120}{360 + 150} = 15 \times \frac{480}{510} = 15 \times \frac{48}{51} = 15 \times \frac{16}{17} \approx 14.1176 \]
не целое.
Пробуем \( n_1 = 20 \):
\[ n_2 = 20 \times \frac{24 \times 20 + 120}{24 \times 20 + 150} = 20 \times \frac{480 + 120}{480 + 150} = 20 \times \frac{600}{630} = 20 \times \frac{20}{21} \approx 19.0476 \]
не целое.
Пробуем \( n_1 = 25 \):
\[ n_2 = 25 \times \frac{600 + 120}{600 + 150} = 25 \times \frac{720}{750} = 25 \times \frac{24}{25} = 24 \]
Это целое число!
Ответ:
- \( n_1 = 25 \) школьников.
- Время работы первого класса:
\[ t_1 = 24 n_1 + 120 = 24 \times 25 + 120 = 600 + 120 = 720 \text{ минут} \]
- Для второго класса:
\[ n_2 = 24 \]
Проверка:
Производительность одного школьника \( p \):
\[ p = \frac{100}{n_1 t_1} = \frac{100}{25 \times 720} = \frac{100}{18000} = \frac{1}{180} \text{ кг/мин} \]
Время работы второго класса:
\[ t_2 = t_1 + 30 = 720 + 30 = 750 \text{ минут} \]
Объем, собранный вторым классом:
\[ n_2 \times p \times t_2 = 24 \times \frac{1}{180} \times 750 = 24 \times \frac{750}{180} = 24 \times \frac{25}{6} = 24 \times 4.1667 = 100 \text{ кг} \]
Все условия выполнены.
ИТОГ:
Число школьников в первом классе — 25.
