В графе 14 рёбер. Каждая вершина графа имеет или степень 2, или степень 5. Причём вершин степени 2 столько же, сколько вершин степени 5. Сколько вершин в этом графе? решение

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

• В графе 14 рёбер.
• Каждая вершина имеет степень 2 или 5.
• Количество вершин степени 2 равно количеству вершин степени 5.

Обозначения:

• Пусть \( x \) — количество вершин степени 2.
• Пусть \( y \) — количество вершин степени 5.

По условию: \[ x = y \]

Общее число вершин: \[ n = x + y = 2x \]

Теперь рассмотрим сумму степеней всех вершин графа.

Известно, что сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству рёбер:

\[ \sum_{v \in V} \deg v = 2 \times \text{число рёбер} \]

Подставим значения:

\[ \sum_{v \in V} \deg v = 2 \times 14 = 28 \]

Общая сумма степеней: \[ \sum_{v \in V} \deg v = \underbrace{\sum_{v: \deg v = 2} \deg v}_{= 2 \times x} + \underbrace{\sum_{v: \deg v = 5} \deg v}_{= 5 \times y} \]

Так как \( x = y \), то:

\[ \sum_{v \in V} \deg v = 2x + 5x = 7x \]

Запишем равенство:

\[ 7x = 28 \]

Отсюда следует:

\[ x = \frac{28}{7} = 4 \]

А количество вершин:

\[ n = 2x = 2 \times 4 = 8 \]

Ответ: в графе 8 вершин.

Итог:

В графе 8 вершин.