В каких случаях сумма двух рациональных чисел положительна? отрицательна? равна нулю? равна одному из слагаемых

Рассмотрим три случая для суммы двух рациональных чисел:

Пусть у нас есть два рациональных числа:
\(a\) и \(b\).

1. Когда сумма двух рациональных чисел положительна?

Условие: \(\,a + b > 0\)

Обоснование:
Сумма двух рациональных чисел положительна, если и оба числа положительны, или одно — положительно, а другое — достаточно велико по модулю отрицательное, чтобы сумма получилась больше нуля.

Анализ:

• Если оба числа положительны:
  \(a > 0 \quad\) и \(\quad b > 0\)
  Тогда обязательно \(a + b > 0\)

• Если одно число положительно, а другое отрицательно:
  Пусть \(a > 0\), \(b < 0\).
  Тогда сумма:
  \[ a + b > 0 \quad \Leftrightarrow \quad a > -b \] Так как \(b < 0\), \(-b > 0\).
  Следовательно, сумма положительна, если положительное число больше по модулю отрицательного.

Итог:
\(\boxed{ a + b > 0 \quad\) если
\quad 1. \(a > 0\) и \(b > 0\), или
\quad 2. \(a > 0\), и \(b > -a\), или
\quad 3. \(b > 0\) и \(a > -b\).
})

2. Когда сумма двух рациональных чисел отрицательна?

Условие: \(\,a + b < 0\)

Обоснование:
Аналогично, сумма отрицательна, если оба числа отрицательны, или одно — отрицательно, а другое не достаточно большого по модулю, чтобы "перебить" отрицательную часть.

Анализ:

• Оба числа отрицательны:
  \(a < 0\) и \(b < 0\) → тогда сумма:
  \[ a + b < 0 \]
• Одно отрицательное, другое — положительно, но сумма всё равно отрицательна, если:
  \[ a + b < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{только если, например, } |a| > b \] или, точнее, что сумма отрицательна, если сумма чисел с противоположными знаками, и отрицательное число по модулю больше положительного.

Итог:
\(\boxed{ a + b < 0 \quad\) если
\quad 1. \(a < 0\) и \(b < 0\), или
\quad 2. \(a < 0\), \(b > 0\), и \(|a| > b\), или
\quad 3. \(b < 0\), \(a > 0\), и \(|b| > a\).
})

3. Когда сумма двух рациональных чисел равна нулю?

Условие: \(\,a + b = 0\)

Обоснование:
Это происходит, когда одно число — отрицательное, а другое — равное его противоположности.

Вывод:
\[ a = -b \]
или, другими словами, числа — противоположные по знаку и равные по модулю.

4. Когда сумма равна одному из слагаемых?

Условие:
\[ a + b = a \quad \text{или} \quad a + b = b \]

Разбор:

• Если \(a + b = a\), то
  \[ a + b = a \quad \Rightarrow \quad b = 0 \] То есть, сумма равна первому слагаемому только когда второе слагаемое равно нулю.

• Если \(a + b = b\), то
  \[ a + b = b \quad \Rightarrow \quad a = 0 \] Аналогично — сумма равна второму слагаемому только когда первое равно нулю.

Итоговая краткая справка:

Если есть сложности или нужны дополнительные примеры — скажи!