В каких случаях сумма двух рациональных чисел положительна? отрицательна? равна нулю? равна одному из слагаемых

Рассмотрим три случая для суммы двух рациональных чисел: Пусть у нас есть два рациональных числа: \(a\) и \(b\). --- ### 1. Когда сумма двух рациональных чисел положительна? **Условие:** \(\,a + b > 0\) **Обоснование:** Сумма двух рациональных чисел положительна, если и оба числа положительны, или одно — положительно, а другое — достаточно велико по модулю отрицательное, чтобы сумма получилась больше нуля. **Анализ:** - Если оба числа положительны: \(a > 0 \quad\) и \(\quad b > 0\) Тогда обязательно \(a + b > 0\) - Если одно число положительно, а другое отрицательно: Пусть \(a > 0\), \(b < 0\). Тогда сумма: \[ a + b > 0 \quad \Leftrightarrow \quad a > -b \] Так как \(b < 0\), \(-b > 0\). Следовательно, сумма положительна, если положительное число больше по модулю отрицательного. **Итог:** \(\boxed{ a + b > 0 \quad\) если \quad 1. \(a > 0\) и \(b > 0\), или \quad 2. \(a > 0\), и \(b > -a\), или \quad 3. \(b > 0\) и \(a > -b\). }\) --- ### 2. Когда сумма двух рациональных чисел отрицательна? **Условие:** \(\,a + b < 0\) **Обоснование:** Аналогично, сумма отрицательна, если оба числа отрицательны, или одно — отрицательно, а другое не достаточно большого по модулю, чтобы "перебить" отрицательную часть. **Анализ:** - Оба числа отрицательны: \(a < 0\) и \(b < 0\) → тогда сумма: \[ a + b < 0 \] - Одно отрицательное, другое — положительно, но сумма всё равно отрицательна, если: \[ a + b < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{только если, например, } |a| > b \] или, точнее, что сумма отрицательна, если сумма чисел с противоположными знаками, и отрицательное число по модулю больше положительного. **Итог:** \(\boxed{ a + b < 0 \quad\) если \quad 1. \(a < 0\) и \(b < 0\), или \quad 2. \(a < 0\), \(b > 0\), и \(|a| > b\), или \quad 3. \(b < 0\), \(a > 0\), и \(|b| > a\). }\) --- ### 3. Когда сумма двух рациональных чисел равна нулю? **Условие:** \(\,a + b = 0\) **Обоснование:** Это происходит, когда одно число — отрицательное, а другое — равное его противоположности. **Вывод:** \[ a = -b \] или, другими словами, **числа — противоположные по знаку и равные по модулю**. --- ### 4. Когда сумма равна одному из слагаемых? **Условие:** \[ a + b = a \quad \text{или} \quad a + b = b \] **Разбор:** - Если \(a + b = a\), то \[ a + b = a \quad \Rightarrow \quad b = 0 \] То есть, сумма равна первому слагаемому только когда второе слагаемое равно нулю. - Если \(a + b = b\), то \[ a + b = b \quad \Rightarrow \quad a = 0 \] Аналогично — сумма равна второму слагаемому только когда первое равно нулю. --- ### Итоговая краткая справка: | Условие | Что происходит? | |------------|------------------------| | \(a + b > 0\) | Сумма положительна, если: \(\) оба положительны или одно — положительно, а другое — "столько", чтобы получить положительный результат | | \(a + b < 0\) | Сумма отрицательна, если: оба отрицательны или одно — отрицательно, а другое — не достаточно велико по модулю наоборот | | \(a + b = 0\) | Сумма равна нулю, если \(b = -a\) | | \(a + b = a\) | Тогда \(b=0\) | | \(a + b = b\) | Тогда \(a=0\) | Если есть сложности или нужны дополнительные примеры — скажи!