Дано:
- Вероятность попадания в цель за один выстрел: ( p = 0,5 )
- Количество выстрелов: ( n = 7 )
- Нужно найти вероятность того, что цель будет поражена ровно 2 раза: ( k = 2 )
Это задача на биноминальное распределение, которая описывается формулой:
[
P(k) = C(n, k) \times p^{k} \times (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} ) — число сочетаний
- ( p^{k} ) — вероятность ровно ( k ) попаданий
- ( (1 - p)^{n - k} ) — вероятность оставшихся промахов
Шаг 1: Вычислим число сочетаний ( C(7, 2) )
[
C(7, 2) = \frac{7!}{2! \times (7 - 2)!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{2 \times 1 \times 5!} = \frac{7 \times 6}{2} = \frac{42}{2} = 21
]
Шаг 2: Подставим значения в формулу
[
P(2) = 21 \times (0.5)^{2} \times (0.5)^{5}
]
Так как ( p = 0.5 ), то:
[
(0.5)^2 = 0.25
]
[
(0.5)^5 = 0.03125
]
Шаг 3: Вычислим итог
[
P(2) = 21 \times 0.25 \times 0.03125
]
Произведем умножение:
[
0.25 \times 0.03125 = 0.0078125
]
Теперь:
[
P(2) = 21 \times 0.0078125 = 0.1640625
]
Ответ:
Вероятность того, что после 7 выстрелов цель будет поражена ровно 2 раза, равна 0,1641 (или примерно 16,41%).
