Вероятность пробоя цели стрелком при одном выстреле равна 0,5. Какова вероятность того, что после того, как будет сделано 7 выстрелов, цель будет поражена ровно 2 раза?
Дано:
- Вероятность попадания в цель за один выстрел: \( p = 0,5 \)
- Количество выстрелов: \( n = 7 \)
- Нужно найти вероятность того, что цель будет поражена ровно 2 раза: \( k = 2 \)
Это задача на биноминальное распределение, которая описывается формулой:
\[ P(k) = C(n, k) \times p^{k} \times (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( C(n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} \) — число сочетаний
- \( p^{k} \) — вероятность ровно \( k \) попаданий
- \( (1 - p)^{n - k} \) — вероятность оставшихся промахов
Шаг 1: Вычислим число сочетаний \( C(7, 2) \)
\[ C(7, 2) = \frac{7!}{2! \times (7 - 2)!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{2 \times 1 \times 5!} = \frac{7 \times 6}{2} = \frac{42}{2} = 21 \]
Шаг 2: Подставим значения в формулу
\[ P(2) = 21 \times (0.5)^{2} \times (0.5)^{5} \]
Так как \( p = 0.5 \), то:
\[ (0.5)^2 = 0.25 \] \[ (0.5)^5 = 0.03125 \]
Шаг 3: Вычислим итог
\[ P(2) = 21 \times 0.25 \times 0.03125 \]
Произведем умножение:
\[ 0.25 \times 0.03125 = 0.0078125 \]
Теперь:
\[ P(2) = 21 \times 0.0078125 = 0.1640625 \]
Ответ:
Вероятность того, что после 7 выстрелов цель будет поражена ровно 2 раза, равна 0,1641 (или примерно 16,41%).
