16. Точки А, В и С делят окружность на три части так, что дуга АВ : дуга ВС : дуга АС = 4 : 7 : 9. Определите наибольший угол треугольника АВС.

Давайте разобьём задачу на части и пошагово решим её с объяснениями. --- ### Исходные данные: - Точки А, В, С лежат на окружности. - Дугообразное деление окружности: дуга АВ, дуга ВС, дуга АС. - Отношение длин дуг: \[ \text{дуга АВ} : \text{дуга ВС} : \text{дуга АС} = 4 : 7 : 9 \] Нам нужно найти **наибольший угол треугольника АВС**. --- ### Шаг 1: Обозначим длины дуг Обозначим сумму частей: \[ 4 + 7 + 9 = 20 \] Пусть дуга АВ равна \(4x\), дуга ВС — \(7x\), дуга АС — \(9x\). --- ### Шаг 2: Определим дуги Дуги — это части окружности, их сумма равна 360°, то есть: \[ 4x + 7x + 9x = 20x = 360^\circ \] Отсюда: \[ x = \frac{360^\circ}{20} = 18^\circ \] Теперь длины дуг в градусах: \[ \text{дуга АВ} = 4x = 4 \times 18^\circ = 72^\circ \] \[ \text{дуга ВС} = 7 \times 18^\circ = 126^\circ \] \[ \text{дуга АС} = 9 \times 18^\circ = 162^\circ \] --- ### Шаг 3: Определим, какие дуги противоположны каким сторонам По теории о вписанных углах: - Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине этой дуги. - Угол треугольника, лежащий напротив стороны, — это вписанный угол, опирающийся на дугу, не содержащую эту сторону. --- ### Шаг 4: Расположение точек для максимального угла Чтобы найти **наибольший угол треугольника**, нужно выбрать наибольший вписанный угол. Больший вписанный угол — это тот, который опирается на дугу, *не содержащую* искомую сторону. Значит, чтобы найти максимальный внешний угол треугольника, выберем ту вершину, у которой противолежащая дуга самая большая. Дуги: - АВ — 72° - ВС — 126° - АС — 162° Общий принцип: - Вписанный угол, опирающийся на сторону, равен половине дуги, *не содержащей* эту сторону. --- ### Шаг 5: Наиболее большой вписанный угол — напротив стороны, которая лежит напротив самой большой дуги (наименьшей дуги). Но дуги с наименьшим размером — это 72° и 126°, а крупнейшая — 162°. Чтобы понять, какая сторона противоположна максимальному углу, вспомним: - Угол треугольника, напротив которого находится дуга, равен половине дуги, не содержащей эту сторону. В нашем случае, максимальный вписанный угол — это тот, который опирается на дугу, не содержащую эту сторону. Для этого лучше рассмотреть все точки и дуги. --- ### Шаг 6: Определим, какая вершина против какой дуги Рассмотрим, что происходит при размещении точек: - Точка **A** соединена с B и C, дуга АВ — 72°, АС — 162°. - Точка **B** соединена с A и C, дуга ВА — 72°, дуга ВС — 126°. - Точка **C** соединена с A и B, дуга АС — 162°, дуга ВС — 126°. Наиболее важна дуга, которая наиболее противоположна вершине, которая образует максимальный угол. --- ### Шаг 7: Вычислим углы внутри треугольника - Вписанный угол, опирающийся на сторону со стороной, противоположной дуге. Общий принцип: Максимальный угол в треугольнике — это вписанный угол, опирающийся на дугу, не содержащую сторону. Так как дуга АС — самая большая 162°, то угол, противоположный этому дугу, — это максимум среди внутренних углов, так как он равен половине этой дуги: \[ \angle \text{против АС} = \frac{162^\circ}{2} = 81^\circ \] --- ### Шаг 8: Ответ Следовательно, **наибольший угол треугольника АВС** — это угол, опирающийся на дугу АС (162°), который равен: \[ \boxed{81^\circ} \] --- ## Итог: **Наибольший угол треугольника АВС равен \(\boxed{81^\circ}\).**