Правиьная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 6. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра,
Давайте разберем задачу по шагам и подготовим подробное решение.
Задача такова:
Дана правильная четырехугольная призма, которая описана около цилиндра с радиусом основания 6. Из условия известно, что площадь боковой поверхности призмы равна 48. Нужно найти высоту этого цилиндра.
Что и как мы знаем:
- Призма правильная четырехугольная (то есть основание — квадрат).
- Она описана около цилиндра радиуса 6.
- Площадь боковой поверхности призмы — 48.
- Нужно найти высоту цилиндра.
Шаг 1. Понимание условий
Правильная призма — значит основание — квадрат.
Призма описана около цилиндра означает, что:
- Цилиндр происходит из окружности, которая — вписанная в квадрат основания призмы.
- Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен расстоянию от центра квадрата до его стороны.
Радиус цилиндра равен 6, это значит, что он совпадает с радиусом вписанной окружности квадрата основания призмы.
Шаг 2. Связь радиуса вписанной окружности и стороны квадрата
Для квадрата со стороной \( a \):
- Радиус вписанной окружности \( r \) равен половине диагонали квадрата:
\[ r = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]
Т.к. радиус этого окружности равен 6, то:
\[ 6 = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]
Отсюда выразим \( a \):
\[ a = \frac{2 \times 6}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \sqrt{2} \]
Значит, сторона квадрата равна:
\[ a = 6 \sqrt{2} \]
Шаг 3. Площадь боковой поверхности призмы
Боковая поверхность — это сумма длин всех боковых ребер умноженная на соответствующую величину.
Для правильной призмы, боковая поверхность представляет собой периметр основания, умноженный на высоту призмы \( h \):
\[ S_b = P_{осн} \times h \]
где \( P_{осн} \) — периметр квадрата основания.
Периметр квадрата:
\[ P_{осн} = 4a = 4 \times 6 \sqrt{2} = 24 \sqrt{2} \]
Из условия, площадь боковой поверхности равна 48:
\[ S_b = P_{осн} \times h = 48 \]
Подставим выражение для периметра:
\[ 24 \sqrt{2} \times h = 48 \]
Решим уравнение для \( h \):
\[ h = \frac{48}{24 \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]
Итак, высота призмы равна:
\[ h = \sqrt{2} \]
Ответ:
Высота цилиндра (и призмы) равна \(\boxed{\sqrt{2}}\).
Если понадобится дополнительное объяснение или проверка, я с радостью помогу!
