Правиьная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 6. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра,

Давайте разберем задачу по шагам и подготовим подробное решение. Задача такова: Дана правильная четырехугольная призма, которая описана около цилиндра с радиусом основания 6. Из условия известно, что площадь боковой поверхности призмы равна 48. Нужно найти высоту этого цилиндра. **Что и как мы знаем:** - Призма правильная четырехугольная (то есть основание — квадрат). - Она описана около цилиндра радиуса 6. - Площадь боковой поверхности призмы — 48. - Нужно найти высоту цилиндра. --- ### Шаг 1. Понимание условий **Правильная призма** — значит основание — квадрат. **Призма описана около цилиндра** означает, что: - Цилиндр происходит из окружности, которая — вписанная в квадрат основания призмы. - Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен расстоянию от центра квадрата до его стороны. Радиус цилиндра равен 6, это значит, что он совпадает с радиусом вписанной окружности квадрата основания призмы. ### Шаг 2. Связь радиуса вписанной окружности и стороны квадрата Для квадрата со стороной \( a \): - Радиус вписанной окружности \( r \) равен половине диагонали квадрата: \[ r = \frac{a \sqrt{2}}{2} \] Т.к. радиус этого окружности равен 6, то: \[ 6 = \frac{a \sqrt{2}}{2} \] Отсюда выразим \( a \): \[ a = \frac{2 \times 6}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \sqrt{2} \] Значит, сторона квадрата равна: \[ a = 6 \sqrt{2} \] --- ### Шаг 3. Площадь боковой поверхности призмы Боковая поверхность — это сумма длин всех боковых ребер умноженная на соответствующую величину. **Для правильной призмы**, боковая поверхность представляет собой периметр основания, умноженный на высоту призмы \( h \): \[ S_b = P_{осн} \times h \] где \( P_{осн} \) — периметр квадрата основания. Периметр квадрата: \[ P_{осн} = 4a = 4 \times 6 \sqrt{2} = 24 \sqrt{2} \] Из условия, площадь боковой поверхности равна 48: \[ S_b = P_{осн} \times h = 48 \] Подставим выражение для периметра: \[ 24 \sqrt{2} \times h = 48 \] Решим уравнение для \( h \): \[ h = \frac{48}{24 \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] **Итак, высота призмы равна:** \[ h = \sqrt{2} \] --- ### **Ответ:** **Высота цилиндра (и призмы) равна \(\boxed{\sqrt{2}}\).** --- Если понадобится дополнительное объяснение или проверка, я с радостью помогу!