Давайте подробно разберём задачу, используя понятия гомотетии и решение по шагам.
Дано:
- Исходная точка: ( A (x, -3) )
- Образ точки: ( A_1 (8, y) )
- Центр гомотетии: ( H (2, 1) )
- Коэффициент гомотетии: ( k = -4 )
Задача: найти ( x ) и ( y ).
Что такое гомотетия?
Гомотетия — это преобразование в плоскости с центром ( H ) и коэффициентом ( k ), при котором точка ( A ) переходит в ( A_1 ) по формуле:
[
A_1 = H + k \cdot (A - H)
]
Это значит, что радиус-вектор точки ( A_1 ) относительно центра ( H ) равен ( k ) раз радиуса-вектора точки ( A ) относительно ( H ).
Шаг 1: Запишем формулу для координат
Координаты точки ( A_1 ):
[
A_1 = H + k \cdot (A - H)
]
Координаты:
- ( A = (x, -3) )
- ( H = (2, 1) )
- ( A_1 = (8, y) )
Тогда по компонентам:
[
\begin{cases}
8 = 2 + k (x - 2) \
y = 1 + k(-3 - 1)
\end{cases}
]
Шаг 2: Подставляем значение ( k = -4 )
[
\begin{cases}
8 = 2 + (-4)(x - 2) \
y = 1 + (-4)(-3 - 1)
\end{cases}
]
Решим каждое уравнение отдельно.
Шаг 3: Найдём ( x )
[
8 = 2 - 4 (x - 2)
]
Переносим и решаем:
[
8 - 2 = -4 (x - 2)
]
[
6 = -4 (x - 2)
]
Делим обе части на -4:
[
\frac{6}{-4} = x - 2
]
[
-\frac{3}{2} = x - 2
]
Добавляем 2 к обеим частям:
[
x = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}
]
Итак,:
[
x = \frac{1}{2}
]
Шаг 4: Найдём ( y )
[
y = 1 + (-4)(-3 - 1)
]
Вычисляем внутри скобок:
[
-3 - 1 = -4
]
Подставляем:
[
y = 1 + (-4)(-4) = 1 + 16 = 17
]
Итог:
[
\boxed{
x = \frac{1}{2}, \quad y = 17
}
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна пояснение по каким-либо шагам, я с радостью помогу!
