Точка А1 (8; y) является образом точки А (x; -3) при гомотетии с центром H(2; 1) и коэффициентом k=-4. Найдите x и y.
Давайте подробно разберём задачу, используя понятия гомотетии и решение по шагам.
Дано:
- Исходная точка: \( A (x, -3) \)
- Образ точки: \( A_1 (8, y) \)
- Центр гомотетии: \( H (2, 1) \)
- Коэффициент гомотетии: \( k = -4 \)
Задача: найти \( x \) и \( y \).
Что такое гомотетия?
Гомотетия — это преобразование в плоскости с центром \( H \) и коэффициентом \( k \), при котором точка \( A \) переходит в \( A_1 \) по формуле: \[ A_1 = H + k \cdot (A - H) \]
Это значит, что радиус-вектор точки \( A_1 \) относительно центра \( H \) равен \( k \) раз радиуса-вектора точки \( A \) относительно \( H \).
Шаг 1: Запишем формулу для координат
Координаты точки \( A_1 \): \[ A_1 = H + k \cdot (A - H) \]
Координаты:
- \( A = (x, -3) \)
- \( H = (2, 1) \)
- \( A_1 = (8, y) \)
Тогда по компонентам:
\[ \begin{cases} 8 = 2 + k (x - 2) \\ y = 1 + k(-3 - 1) \end{cases} \]
Шаг 2: Подставляем значение \( k = -4 \)
\[ \begin{cases} 8 = 2 + (-4)(x - 2) \\ y = 1 + (-4)(-3 - 1) \end{cases} \]
Решим каждое уравнение отдельно.
Шаг 3: Найдём \( x \)
\[ 8 = 2 - 4 (x - 2) \]
Переносим и решаем:
\[ 8 - 2 = -4 (x - 2) \]
\[ 6 = -4 (x - 2) \]
Делим обе части на -4:
\[ \frac{6}{-4} = x - 2 \]
\[ -\frac{3}{2} = x - 2 \]
Добавляем 2 к обеим частям:
\[ x = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \]
Итак,:
\[ x = \frac{1}{2} \]
Шаг 4: Найдём \( y \)
\[ y = 1 + (-4)(-3 - 1) \]
Вычисляем внутри скобок:
\[ -3 - 1 = -4 \]
Подставляем:
\[ y = 1 + (-4)(-4) = 1 + 16 = 17 \]
Итог:
\[ \boxed{ x = \frac{1}{2}, \quad y = 17 } \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна пояснение по каким-либо шагам, я с радостью помогу!
