Три ёжика переносят на себе заготовки на зиму. Первый ёжик может нести максимум 60 60 г, второй — — максимум 100 100 г, третий — — максимум 90 90 г. Вчера ёжики несли на себе…
Три ёжика переносят на себе заготовки на зиму. Первый ёжик может нести максимум 60 60 г, второй — — максимум 100 100 г, третий — — максимум 90 90 г. Вчера ёжики несли на себе суммарно 200 200 г. А сегодня первый ёжик несёт столько же, сколько вчера, второй — — в два раза больше, чем вчера, третий — — в 3 3 раза меньше, чем вчера. Какова суммарная масса груза, который несут на себе сегодня ёжики? Ответ выразите в граммах.
Давайте пошагово решим эту задачу.
Шаг 1: Обозначим переменные.
Обозначим массу груза, которую носили ёжики вчера:
- Первый ёжик — \( x_1 \) г
- Второй — \( x_2 \) г
- Третий — \( x_3 \) г
По условию:
\[ x_1 + x_2 + x_3 = 200 \text{ г} \]
Шаг 2: Определим массу груза сегодня.
Сегодня:
- Первый ёжик носит столько же, сколько вчера: \( x_1 \) г
- Второй — в два раза больше, чем вчера: \( 2x_2 \) г
- Третий — в 3 раза меньше, чем вчера: \( \frac{x_3}{3} \) г
Шаг 3: Найдём сумму масс груза сегодня.
Общая масса сегодня:
\[ S = x_1 + 2x_2 + \frac{x_3}{3} \]
Шаг 4: Выразим \( x_3 \) через \( x_1 \) и \( x_2 \).
Из уравнения суммы вчера:
\[ x_3 = 200 - x_1 - x_2 \]
Шаг 5: Подставим \( x_3 \) в выражение для сегодняшней суммы.
\[ S = x_1 + 2x_2 + \frac{200 - x_1 - x_2}{3} \]
Раскроем скобки:
\[ S = x_1 + 2x_2 + \frac{200}{3} - \frac{x_1}{3} - \frac{x_2}{3} \]
Объединим подобные члены:
\[ S = \left(x_1 - \frac{x_1}{3}\right) + \left(2x_2 - \frac{x_2}{3}\right) + \frac{200}{3} \]
Перепишем:
\[ S = \frac{3x_1}{3} - \frac{x_1}{3} + \frac{6x_2}{3} - \frac{x_2}{3} + \frac{200}{3} \]
\[ S = \frac{(3x_1 - x_1) + (6x_2 - x_2) + 200}{3} \]
\[ S = \frac{2x_1 + 5x_2 + 200}{3} \]
Шаг 6: Учтём ограничения по весу.
Каждый ёжик может нести определённый максимум:
- Первый — 60 г
- Второй — 100 г
- Третий — 90 г
Это означает:
\[ x_1 \leq 60 \]
\[ x_2 \leq 100 \]
\[ x_3 = 200 - x_1 - x_2 \leq 90 \]
Из последнего неравенства:
\[ 200 - x_1 - x_2 \leq 90 \Rightarrow x_1 + x_2 \geq 110 \]
Кроме того, все переменные неотрицательны:
\[ x_1, x_2 \geq 0 \]
Итак, система ограничений:
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 \geq 110 \\
x_1 \leq 60 \\
x_2 \leq 100 \\
x_3 = 200 - x_1 - x_2 \geq 0
\end{cases}
\]
Поскольку \( x_3 \geq 0 \), то:
\[ 200 - x_1 - x_2 \geq 0 \Rightarrow x_1 + x_2 \leq 200 \]
Но это условие выше, уже учтено.
Шаг 7: Определение значений \( x_1, x_2 \) для максимизации или минимизации \( S \).
Нам нужно найти значения \( x_1, x_2 \), при которых сумма \( S \) достигает максимально возможного значения, учитывая ограничения.
Обратим внимание:
- \( S = \frac{2x_1 + 5x_2 + 200}{3} \)
При этом коэффициент при \( x_2 \) больше, чем при \( x_1 \), значит, чтобы максимизировать \( S \), нужно максимизировать \( x_2 \) и также увеличить \( x_1 \).
Но есть ограничения:
- \( x_1 \leq 60 \)
- \( x_2 \leq 100 \)
Рассмотрим крайние точки:
\( x_2 = 100 \), тогда, чтобы \( x_1 + x_2 \geq 110 \),
\[ x_1 + 100 \geq 110 \Rightarrow x_1 \geq 10 \]Максимальное \( x_1 \) — 60, поэтому возьмем \( x_1 = 60 \).
Тогда \( x_3 = 200 - 60 - 100 = 40 \), что меньше 90 — подходит.
Проверим рекомендуемые значения:
- \( x_1 = 60 \)
- \( x_2 = 100 \)
Тогда \( S \):
\[ S = \frac{2 \times 60 + 5 \times 100 + 200}{3} = \frac{120 + 500 + 200}{3} = \frac{820}{3} \approx 273.33 \text{ г} \]
Этот вариант подходит по ограничениям.
Ответ:
Суммарная масса груза, который несут сегодня ёжики, равна примерно 273.33 г.
Но ответ нужно дать в граммах, и поскольку задача обычно предполагает целое число или точность до целых, ответ — 273 г.
