Давайте пошагово решим эту задачу.
Шаг 1: Обозначим переменные.
Обозначим массу груза, которую носили ёжики вчера:
- Первый ёжик — ( x_1 ) г
- Второй — ( x_2 ) г
- Третий — ( x_3 ) г
По условию:
[ x_1 + x_2 + x_3 = 200 \text{ г} ]
Шаг 2: Определим массу груза сегодня.
Сегодня:
- Первый ёжик носит столько же, сколько вчера: ( x_1 ) г
- Второй — в два раза больше, чем вчера: ( 2x_2 ) г
- Третий — в 3 раза меньше, чем вчера: ( \frac{x_3}{3} ) г
Шаг 3: Найдём сумму масс груза сегодня.
Общая масса сегодня:
[ S = x_1 + 2x_2 + \frac{x_3}{3} ]
Шаг 4: Выразим ( x_3 ) через ( x_1 ) и ( x_2 ).
Из уравнения суммы вчера:
[ x_3 = 200 - x_1 - x_2 ]
Шаг 5: Подставим ( x_3 ) в выражение для сегодняшней суммы.
[ S = x_1 + 2x_2 + \frac{200 - x_1 - x_2}{3} ]
Раскроем скобки:
[ S = x_1 + 2x_2 + \frac{200}{3} - \frac{x_1}{3} - \frac{x_2}{3} ]
Объединим подобные члены:
[ S = \left(x_1 - \frac{x_1}{3}\right) + \left(2x_2 - \frac{x_2}{3}\right) + \frac{200}{3} ]
Перепишем:
[ S = \frac{3x_1}{3} - \frac{x_1}{3} + \frac{6x_2}{3} - \frac{x_2}{3} + \frac{200}{3} ]
[ S = \frac{(3x_1 - x_1) + (6x_2 - x_2) + 200}{3} ]
[ S = \frac{2x_1 + 5x_2 + 200}{3} ]
Шаг 6: Учтём ограничения по весу.
Каждый ёжик может нести определённый максимум:
- Первый — 60 г
- Второй — 100 г
- Третий — 90 г
Это означает:
[ x_1 \leq 60 ]
[ x_2 \leq 100 ]
[ x_3 = 200 - x_1 - x_2 \leq 90 ]
Из последнего неравенства:
[ 200 - x_1 - x_2 \leq 90 \Rightarrow x_1 + x_2 \geq 110 ]
Кроме того, все переменные неотрицательны:
[ x_1, x_2 \geq 0 ]
Итак, система ограничений:
[
\begin{cases}
x_1 + x_2 \geq 110 \
x_1 \leq 60 \
x_2 \leq 100 \
x_3 = 200 - x_1 - x_2 \geq 0
\end{cases}
]
Поскольку ( x_3 \geq 0 ), то:
[ 200 - x_1 - x_2 \geq 0 \Rightarrow x_1 + x_2 \leq 200 ]
Но это условие выше, уже учтено.
Шаг 7: Определение значений ( x_1, x_2 ) для максимизации или минимизации ( S ).
Нам нужно найти значения ( x_1, x_2 ), при которых сумма ( S ) достигает максимально возможного значения, учитывая ограничения.
Обратим внимание:
- ( S = \frac{2x_1 + 5x_2 + 200}{3} )
При этом коэффициент при ( x_2 ) больше, чем при ( x_1 ), значит, чтобы максимизировать ( S ), нужно максимизировать ( x_2 ) и также увеличить ( x_1 ).
Но есть ограничения:
- ( x_1 \leq 60 )
- ( x_2 \leq 100 )
Рассмотрим крайние точки:
( x_2 = 100 ), тогда, чтобы ( x_1 + x_2 \geq 110 ),
[ x_1 + 100 \geq 110 \Rightarrow x_1 \geq 10 ]
Максимальное ( x_1 ) — 60, поэтому возьмем ( x_1 = 60 ).
Тогда ( x_3 = 200 - 60 - 100 = 40 ), что меньше 90 — подходит.
Проверим рекомендуемые значения:
- ( x_1 = 60 )
- ( x_2 = 100 )
Тогда ( S ):
[ S = \frac{2 \times 60 + 5 \times 100 + 200}{3} = \frac{120 + 500 + 200}{3} = \frac{820}{3} \approx 273.33 \text{ г} ]
Этот вариант подходит по ограничениям.
Ответ:
Суммарная масса груза, который несут сегодня ёжики, равна примерно 273.33 г.
Но ответ нужно дать в граммах, и поскольку задача обычно предполагает целое число или точность до целых, ответ — 273 г.
