Угол АСО равен 14°, где О центр окружно- сти. Его сторона СА каса- ется окружности. Найдите величину меньшей дуги АВ окружности, заключен- ной внутри этого угла. Ответ дайте в…

Дано: угол \(\angle ACO = 14^\circ\), где \(O\) — центр окружности, \(C\) — точка на окружности, \(A\) — точка, касающаяся окружности, и \(AC\) — касательная к окружности в точке \(A\).

Требуется найти меньшую дугу \(AB\), заключённую внутри угла \(\angle ACO\).

---

Шаг 1. Анализируем условия.

• \(O\) — центр окружности.
• \(C\) — точка на окружности.
• \(A\) — точка на прямой, касающаяся окружности в точке \(A\), то есть \(A\) — точка касания.
• \(\angle ACO = 14^\circ\).

Так как \(A\) — точка касания, то касательная из точки \(A\) касается окружности в точке \(A\).

---

Шаг 2. Свойства касательной и радиуса.

• Радиус \(AO\) перпендикулярен касательной в точке касания \(A\), то есть \(\angle OAD = 90^\circ\), где \(D\) — точка касания (то есть \(D=A\)).

• Следовательно, \(\angle OAC = 90^\circ\).

---

Шаг 3. Взаимосвязь углов.

Обозначим:

• Пусть \(\angle ACO = 14^\circ\). Тогда, поскольку \(C\) — на окружности, \(O\) — центр, \(A\) — точка касания, а \(A\) — вне окружности (так как касательная и точка касания).

Рассмотрим треугольник \(AOC\):

• \(O\) — центр, \(A\) — касательная, \(C\) — точка на окружности.
• в треугольнике \(AOC\), угол при \(A\) равен \(90^\circ\), так как радиус перпендикулярен касательной.

Поскольку касательная в точке \(A\) перпендуира к радиусу \(AO\), то:

\[ \angle OAC = 90^\circ. \]

Обозначим:

\[ \angle ACO = 14^\circ. \]

---

Шаг 4. Определение дуги.

Обозначим:

• дугу \(AB\), которая внутри угла \(\angle ACO\).

Для определения дуги посмотрим на радиусы и углы.

• Поскольку \(A\) — касательная точка, то \(\angle OAC = 90^\circ\).

• Таким образом, в треугольнике \(AOC\):

\[ \angle AOC = 180^\circ - \angle OAC - \angle ACO = 180^\circ - 90^\circ - 14^\circ = 76^\circ. \]

---

Шаг 5. Связь углов и дуг.

• Угол \(AOC = 76^\circ\) — это центральный угол, опирающийся на дугу \(AC\). Тогда:

\[ \text{дуга } AC = 76^\circ. \]

• Меньшая дуга \(AB\) внутри окружности — это часть окружности, ограниченная точками \(A\) и \(B\).

• Поскольку \(A\) — точка касания, а \(C\) — точка на окружности, и мы ищем дугу, охватывающую \(A\) и \(B\).

---

Шаг 6. Высказываем предположение.

По условию, дуга \(AB\) внутри угла \(A C O\). При этом, поскольку \(\angle A C O = 14^\circ\), и \(\angle O A C = 90^\circ\), то:

• Центр окружности и точки касания образуют определенную конфигурацию.

Если рассматривать дугу, то меньшую дугу \(AB\), которая ложится внутри этого угла, она равна \(2 \times \angle ACB\) по свойствам дуги и угла.

Однако, поскольку \(\angle A C O\) — это внешний угол, связанный с дугами, получая:

\[ \boxed{ \text{меньшая дуга } AB = 2 \times \angle ACB }. \]

Из предыдущих расчетов мы видим, что центральный угол, соответствующий дуге \(AC\), равен \(76^\circ\). Следовательно, дуга \(AB\) равна \(2 \times 14^\circ = 28^\circ\), учитывая равенство.

---

Ответ:
\[ \boxed{28^\circ}. \]

---

Итог:

Меньшая дуга \(AB\), заключённая внутри угла \(\angle ACO = 14^\circ\), равна 28 градусам.