Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 5 см. Найти периметр и площадь этого треугольника. если его катеты относятся, как 6:8.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Окружность, описанная около прямоугольного треугольника, радиуса \( R = 5\, \text{см} \).
- Катеты треугольника относятся как 6 : 8.
Нам нужно найти:
- Периметр треугольника
- Площадь треугольника
Шаг 1. Связь между радиусом вписанной окружности и треугольником
Заметим, что в условии говорится "около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 5 см". Обычно под "описанной окружностью" понимается окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Радиус такой окружности — радиус описанной окружности \( R \).
Однако это отличается от радиуса вписанной окружности \( r \).
Так как у прямоугольного треугольника есть специальная формула для радиуса описанной окружности \( R \):
\[ R = \frac{c}{2} \]
где \( c \) — гипотенуза треугольника.
Пояснение:
- В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы.
Следовательно,
\[ R = \frac{c}{2} \Rightarrow c = 2R = 2 \times 5 = 10\, \text{см} \]
Ответ первым выводом: гипотенуза \( c = 10\, \textсм \).
Шаг 2. Обозначения и данные
Обозначим катеты как \( a \) и \( b \). Согласно условию, их отношение:
\[ a : b = 6 : 8 \]
или в виде:
\[ a = 6k, \quad b = 8k \]
где \( k \) — некий коэффициент.
Так как это прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставим \( a \) и \( b \):
\[ (6k)^2 + (8k)^2 = 10^2 \]
\[ 36k^2 + 64k^2 = 100 \]
\[ 100k^2 = 100 \]
Отсюда:
\[ k^2 = 1 \Rightarrow k = 1 \quad \text{(учитываем положительный коэффициент)}. \]
Следовательно:
\[ a = 6, \quad b = 8 \]
Шаг 3. Проверка гипотенузы
Посчитаем гипотенузу по теореме Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = 36 + 64 = 100 \]
\[ c = \sqrt{100} = 10\, \text{см} \]
Это соответствует найденным ранее данным о окружности: радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть:
\[ R = \frac{c}{2} = 5\, \text{см} \]
Данный результат подтверждён.
Шаг 4. Периметр треугольника
Общий периметр:
\[ P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24\, \text{см} \]
Шаг 5. Площадь треугольника
Площадь прямоугольного треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\, \text{см}^2 \]
Итог
- Периметр треугольника: \(\boxed{24\, \text{см}}\)
- Площадь треугольника: \(\boxed{24\, \text{см}^2}\)
Если есть дополнительные вопросы или нужно подробное объяснение каждого шага — скажите!
