Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 5 см. Найти периметр и площадь этого треугольника. если его катеты относятся, как 6:8.

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап. **Дано:** - Окружность, описанная около прямоугольного треугольника, радиуса \( R = 5\, \text{см} \). - Катеты треугольника относятся как 6 : 8. Нам нужно найти: - Периметр треугольника - Площадь треугольника --- ## Шаг 1. Связь между радиусом вписанной окружности и треугольником Заметим, что в условии говорится "около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 5 см". Обычно под "описанной окружностью" понимается окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Радиус такой окружности — радиус описанной окружности \( R \). Однако это отличается от радиуса вписанной окружности \( r \). Так как у прямоугольного треугольника есть специальная формула для радиуса описанной окружности \( R \): \[ R = \frac{c}{2} \] где \( c \) — гипотенуза треугольника. Пояснение: - В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы. Следовательно, \[ R = \frac{c}{2} \Rightarrow c = 2R = 2 \times 5 = 10\, \text{см} \] **Ответ первым выводом:** гипотенуза \( c = 10\, \textсм \). --- ## Шаг 2. Обозначения и данные Обозначим катеты как \( a \) и \( b \). Согласно условию, их отношение: \[ a : b = 6 : 8 \] или в виде: \[ a = 6k, \quad b = 8k \] где \( k \) — некий коэффициент. Так как это прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим \( a \) и \( b \): \[ (6k)^2 + (8k)^2 = 10^2 \] \[ 36k^2 + 64k^2 = 100 \] \[ 100k^2 = 100 \] Отсюда: \[ k^2 = 1 \Rightarrow k = 1 \quad \text{(учитываем положительный коэффициент)}. \] Следовательно: \[ a = 6, \quad b = 8 \] --- ## Шаг 3. Проверка гипотенузы Посчитаем гипотенузу по теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ c = \sqrt{100} = 10\, \text{см} \] Это соответствует найденным ранее данным о окружности: радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть: \[ R = \frac{c}{2} = 5\, \text{см} \] Данный результат подтверждён. --- ## Шаг 4. Периметр треугольника Общий периметр: \[ P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24\, \text{см} \] --- ## Шаг 5. Площадь треугольника Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\, \text{см}^2 \] --- ## Итог - **Периметр треугольника:** \(\boxed{24\, \text{см}}\) - **Площадь треугольника:** \(\boxed{24\, \text{см}^2}\) --- Если есть дополнительные вопросы или нужно подробное объяснение каждого шага — скажите!