В первом ящике 5 белых, и 5 чёрных; во втором 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика случайным образом достали по одному шару и переложили в третей. Какова вероятность вынуть из…
В первом ящике 5 белых, и 5 чёрных; во втором 7 белых и 3 черных. Из каждого ящика случайным образом достали по одному шару и переложили в третей. Какова вероятность вынуть из третьего ящика былый шар
Рассмотрим задачу подробнее и пошагово, чтобы понять, как найти вероятность вынуть белый шар из третьего ящика после переноса шаров из первых двух.
Дано:
- Первый ящик: 5 белых и 5 черных шаров (всего 10).
- Второй ящик: 7 белых и 3 черных шаров (всего 10).
- Из каждого ящика по одному шару переносится в третий ящик.
- Необходимо найти вероятность того, что из третьего ящика вынут белый шар.
Шаг 1: описание ситуации
- Из первого ящика (Ящик 1): выбирается один шар.
- Из второго ящика (Ящик 2): выбирается один шар.
- Эти два шара добавляются в третий ящик.
- После этого из третьего ящика один шар вытягивают и ищут вероятность, что этот шар — белый.
Шаг 2: возможные варианты выбора из первых ящиков
Из каждого ящика может попасть:
- белый шар, или
- черный шар.
Вероятности выбора:
Из первого ящика:
- О: выбирается белый: \( P_1^{B} = \frac{5}{10} = 0.5 \),
- О: выбирается черный: \( P_1^{C} = \frac{5}{10} = 0.5 \).
Из второго ящика:
- О: выбирается белый: \( P_2^{B} = \frac{7}{10} = 0.7 \),
- О: выбирается черный: \( P_2^{C} = \frac{3}{10} = 0.3 \).
Шаг 3: возможные случаи и итоговые вероятности для третьего ящика
Обозначим события:
- \( B_1 \): белый из первого ящика,
- \( C_1 \): черный из первого ящика,
- \( B_2 \): белый из второго ящика,
- \( C_2 \): черный из второго ящика.
Теперь вспомним, что в третий ящик попадают:
- +1 шар из первого,
- +1 шар из второго.
Итоговая вероятность вынуть из третьего ящика белый шар — это сумма по всем возможным сочетаниям, что приводит к белому шару в третьем ящике.
Шаг 4: значения итоговых вероятностей для каждого варианта наполнения третьего ящика
Рассмотрим все 4 комбинации:
| Случай | Первый ящик | Второй ящик | Вероятность комбинации | Количество белых в третьем ящике | Вероятность вынуть белый из третьего ящика |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Белый (B1) | Белый (B2) | \( 0.5 \times 0.7 = 0.35 \) | 2 (белых) | вероятность выбрать белый из 2: \( \frac{2}{2} = 1 \) |
| 2 | Белый (B1) | Черный (C2) | \( 0.5 \times 0.3 = 0.15 \) | 1 (белых) | вероятность выбрать белый из 1: \( \frac{1}{2} \) |
| 3 | Черный (C1) | Белый (B2) | \( 0.5 \times 0.7 = 0.35 \) | 1 (белых) | \( \frac{1}{2} \) |
| 4 | Черный (C1) | Черный (C2) | \( 0.5 \times 0.3 = 0.15 \) | 0 (белых) | \( 0 \) |
Шаг 5: расчет общей вероятности
Общая вероятность вынуть белый шар из третьего ящика — это сумма вероятностей каждого сценария, умноженная на вероятность выбрать белый шар в этом сценарии.
Запишем формулу:
\[ P(\text{белый в третьем}) = \sum (\text{вероятность сценария} \times \text{вероятность вынуть белый при этом сценарии}) \]
Шаг 6: вычисление
- В сцене 1 (оба белые): вероятность — \(0.35\), вероятность взять белый из двух — 1, значит вклад: \( 0.35 \times 1 = 0.35 \).
- В сцене 2: вероятность — \(0.15\), взятие белого: \( \frac{1}{2} \), вклад: \( 0.15 \times \frac{1}{2} = 0.075 \).
- В сцене 3: вероятность — \(0.35\), взятие белого: \( \frac{1}{2} \), вклад: \( 0.35 \times \frac{1}{2} = 0.175 \).
- В сцене 4: вероятность — \(0.15\), белого нет, вклад: 0.
Итоговая вероятность:
\[ P = 0.35 + 0.075 + 0.175 + 0 = 0.675 \]
Ответ:
Вероятность того, что из третьего ящика вынут белый шар, равна 0.675 или 67,5%.
