Радиус круга r = 7,2 м ± 0,1. С какой минимальной относительной погрешностью может быть определена площадь круга, если принять π = 3,14?

Давайте решим задачу поэтапно и подробно, чтобы понять, как связаны погрешности радиуса и площади круга.

Дано:

• Радиус круга: \( r = 7{,}2\,м \pm 0{,}1\,м \)
• Значение \(\pi = 3,14\)

Нам нужно найти:
Минимальную относительную погрешность площади круга, которая может возникнуть при заданной погрешности радиуса.

Шаг 1. Запишем формулу площади круга

Площадь круга \( S \) выражается через радиус \( r \):

\[ S = \pi r^2 \]

Шаг 2. Определим погрешности

Погрешность радиуса \( \Delta r = 0{,}1\,м \). Погрешность площади по погрешности радиуса связана с дифференциалом функции \( S(r) \).

Шаг 3. Дифференциал площади

Обозначим:

\[ dS = \frac{dS}{dr} \cdot dr \]

Поскольку \( S = \pi r^2 \):

\[ \frac{dS}{dr} = 2 \pi r \]

Тогда изменение площади:

\[ dS = 2 \pi r \cdot dr \]

Шаг 4. Вычислим относительную погрешность площади

Относительная погрешность \( \frac{\Delta S}{S} \):

\[ \left| \frac{\Delta S}{S} \right| \approx \left| \frac{dS}{S} \right| = \left| \frac{2 \pi r \cdot dr}{\pi r^2} \right| = \left| \frac{2 dr}{r} \right| \]

Упростим:

\[ \frac{\Delta S}{S} \approx 2 \cdot \frac{\Delta r}{r} \]

Шаг 5. Подставим известные значения

\[ r = 7{,}2\,м, \quad \Delta r = 0{,}1\,м \]

Рассчитаем относительную погрешность радиуса:

\[ \frac{\Delta r}{r} = \frac{0{,}1}{7{,}2} \approx 0,01389 \text{ (или 1,389%)} \]

Тогда относительная погрешность площади:

\[ \frac{\Delta S}{S} \approx 2 \times 0,01389 \approx 0,02778 \]

То есть в процентах это:

\[ 0,02778 \times 100\% \approx 2,78\% \]

Ответ:

Минимальная относительная погрешность площади круга составляет примерно 2,78%.

Если нужны дополнительные объяснения или есть вопросы — задавайте!