Давайте решим задачу поэтапно и подробно, чтобы понять, как связаны погрешности радиуса и площади круга.
Дано:
- Радиус круга: ( r = 7{,}2,м \pm 0{,}1,м )
- Значение (\pi = 3,14)
Нам нужно найти:
Минимальную относительную погрешность площади круга, которая может возникнуть при заданной погрешности радиуса.
Шаг 1. Запишем формулу площади круга
Площадь круга ( S ) выражается через радиус ( r ):
[
S = \pi r^2
]
Шаг 2. Определим погрешности
Погрешность радиуса ( \Delta r = 0{,}1,м ). Погрешность площади по погрешности радиуса связана с дифференциалом функции ( S(r) ).
Шаг 3. Дифференциал площади
Обозначим:
[
dS = \frac{dS}{dr} \cdot dr
]
Поскольку ( S = \pi r^2 ):
[
\frac{dS}{dr} = 2 \pi r
]
Тогда изменение площади:
[
dS = 2 \pi r \cdot dr
]
Шаг 4. Вычислим относительную погрешность площади
Относительная погрешность ( \frac{\Delta S}{S} ):
[
\left| \frac{\Delta S}{S} \right| \approx \left| \frac{dS}{S} \right| = \left| \frac{2 \pi r \cdot dr}{\pi r^2} \right| = \left| \frac{2 dr}{r} \right|
]
Упростим:
[
\frac{\Delta S}{S} \approx 2 \cdot \frac{\Delta r}{r}
]
Шаг 5. Подставим известные значения
[
r = 7{,}2,м, \quad \Delta r = 0{,}1,м
]
Рассчитаем относительную погрешность радиуса:
[
\frac{\Delta r}{r} = \frac{0{,}1}{7{,}2} \approx 0,01389 \text{ (или 1,389%)}
]
Тогда относительная погрешность площади:
[
\frac{\Delta S}{S} \approx 2 \times 0,01389 \approx 0,02778
]
То есть в процентах это:
[
0,02778 \times 100% \approx 2,78%
]
Ответ:
Минимальная относительная погрешность площади круга составляет примерно 2,78%.
Если нужны дополнительные объяснения или есть вопросы — задавайте!
