Прямоугольный треугольник с катетами 7см и 24см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

Давайте решим задачу пошагово.

Задача:
Прямоугольный треугольник с катетами 7 см и 24 см вписан в окружность. Найти радиус окружности.

Шаг 1. Найдём гипотенузу треугольника.

Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора:

\[ \text{гипотенуза } c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

где:

• \( a = 7\,\text{см} \),
• \( b = 24\,\text{см} \).

Подставим значения:

\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\,\text{см} \]

Ответ: гипотенуза \( c = 25\,\textсм \).

Шаг 2. Используем свойства вписанной окружности.

Для любого треугольника радиус описанной окружности \( R \) связан с его сторонами — по формуле:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где:

• \( a, b, c \) — стороны треугольника,
• \( S \) — площадь треугольника.

Для прямоугольных треугольников есть более простая формула, так как гипотенуза является диаметром описанной окружности:

\[ R = \frac{c}{2} \]

Почему это так?

Вписанная окружность треугольника касается всех сторон. В случае прямоугольного треугольника гипотенуза — это диаметр окружности, в которую она вписана.

Следовательно:

\[ R = \frac{c}{2} = \frac{25\,\textсм}{2} = 12,5\,\textсм \]

Ответ:

Радиус окружности равен 12,5 см.

Если есть вопросы или нужен более подробный разбор, я с радостью помогу!