Давайте решим задачу пошагово.
Задача:
Прямоугольный треугольник с катетами 7 см и 24 см вписан в окружность. Найти радиус окружности.
Шаг 1. Найдём гипотенузу треугольника.
Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора:
[
\text{гипотенуза } c = \sqrt{a^2 + b^2}
]
где:
- ( a = 7,\text{см} ),
- ( b = 24,\text{см} ).
Подставим значения:
[
c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25,\text{см}
]
Ответ: гипотенуза ( c = 25,\textсм ).
Шаг 2. Используем свойства вписанной окружности.
Для любого треугольника радиус описанной окружности ( R ) связан с его сторонами — по формуле:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
где:
- ( a, b, c ) — стороны треугольника,
- ( S ) — площадь треугольника.
Для прямоугольных треугольников есть более простая формула, так как гипотенуза является диаметром описанной окружности:
[
R = \frac{c}{2}
]
Почему это так?
Вписанная окружность треугольника касается всех сторон. В случае прямоугольного треугольника гипотенуза — это диаметр окружности, в которую она вписана.
Следовательно:
[
R = \frac{c}{2} = \frac{25,\textсм}{2} = 12,5,\textсм
]
Ответ:
Радиус окружности равен 12,5 см.
Если есть вопросы или нужен более подробный разбор, я с радостью помогу!
